Quesito 1

Due cariche identiche Q sono fisse in due punti A e B distanti d l'una dall'altra. Una terza carica identica si muove sull'asse del segmento AB.

1. Quale lavoro deve compiere una forza esterna per spostare la terza carica, inizialmente a distanza infinita, fino al centro C del segmento AB?
2. Qual è l'energia totale del sistema nella sua configurazione finale?

Svolgimento

Quesito 2

Una sfera conduttrice di centro O e di raggio R isolata, nel vuoto, ha carica Q.

1. Calcolare la quantità di energia elettrostatica contenuta in un guscio sferico di centro O, raggio r (r>R) e spessore dr.
2. Calcolare la quantità di energia elettrostatica contenuta nel volume delimitato dalle superfici sferiche di centro O e raggi R e 2R.
3. Calcolare la quantità di energia elettrostatica contenuta in tutto lo spazio circostante la sfera.

Svolgimento

Svolgimento del quesito 1

1. Il metodo più immediato per risolvere questo quesito si basa sul calcolo della variazione dell'energia potenziale delle terza carica dall'iniziale distanza infinita rispetto alle cariche in A e B fino alla sua posizione finale in C.

   L'energia potenziale iniziale U_i è nulla. L'energia potenziale finale U_f è la somma delle sue energie potenziali rispetto alle cariche in A e B. Indicando con K la costante di Coulomb

   

   Si ha quindi

   

   Il lavoro del campo elettrico sulla terza carica è opposto alla variazione della sua energia potenziale, dunque il lavoro di una forza esterna, opposto a quello del campo, coincide con la variazione dell'energia potenziale. In definitiva

   

   Un metodo alternativo, ma più complicato e quindi sconsigliabile, per risolvere lo stesso problema si basa sulla considerazione che il lavoro compiuto da una forza esterna per portare la terza carica dall'infinito al punto C coincide con il lavoro compiuto dal campo per portare la stessa carica da C all'infinito.

   

   Riferendosi alla figura, il campo della carica Q in A esercita sulla carica mobile la forza F

   

   Di questa forza è efficace solo la componente y, in quanto la componente x è equilibrata dall'analoga componente della forza dovuta alla carica in B.

   

   La carica in B ha uguali effetti, quindi la forza totale risulta

   

   Il suo lavoro è dato dall'integrale

   

2. Per ottenere l'energia totale del sistema bisogna sommare all'energia potenziale della carica Q in C l'energia della carica in B rispetto a quella in A. Questa energia può essere dedotta ipotizzando di avere inizialmente la sola carica in A e di dover spingere una carica dall'infinito al punto B, distante d da A. In definitiva

   

Svolgimento del quesito 2

1. La densità di energia in un punto del vuoto in cui il campo elettrico vale E risulta

   

   L'energia dU contenuta nel volume dV di un guscio sferico di raggio r e spessore dr si ottiene moltiplicando la densità di energia dovuta al campo coulombiano a distanza r dal centro O della sfera carica per il volume del guscio sferico

   

2. Il risultato ottenuto è utile per calcolare l'energia contenuta in volumi delimitati da superfici sferiche con centro in O. In particolare, per il volume delimitato da superfici sferiche di raggi R e 2R basta integrare tra questi valori

   

3. Con procedimento analogo si integra da R a infinito

   

   E' interessante osservare che, in quest'ultimo caso, l'energia è doppia di quella precedentemente calcolata: l'energia totale del campo considerato si suddivide in parti uguali nei volumi da R a 2R e da 2R all'infinito.

   Allo stesso risultato si può pervenire direttamente considerando la sfera come un condensatore di capacità

   

   Ricordando che l'energia immagazzinata in un condensatore può essere espressa come

   

   si ottiene