Problema 1

Un filo molto lungo è percorso da una corrente di intensità I = I₀ sin ωt, con I₀ = 1 A e ω = 10π (rad/s). Sullo stesso piano del filo giace una spira di forma rettangolare con due lati lunghi l = 1 m paralleli al filo e posti, rispettivamente, a distanza a e b = 2a, e gli altri due perpendicolari al filo, come è mostrato in figura. Determinare:

1. il flusso del campo magnetico prodotto dalla corrente attraverso la spira in un istante generico t;
2. la forza elettromotrice indotta nella spira in funzione del tempo;
3. il valore della resistenza R della spira affinché l'energia dissipata per effetto Joule in un periodo sia K = 9,5 J.

Svolgimento

Problema 2

Sei cariche puntiformi di intensità si trovano, vincolate, nei vertici di un esagono regolare di lato a = 1 m. Una settima carica puntiforme q = -Q, di massa m = 10^-3 kg, si trova sulla verticale passante per il centro dell'esagono ad una altezza a. Determinare:

1. la forza elettrostatica che agisce sulla carica q;
2. l'energia potenziale del sistema in questa situazione.

Ad un certo istante, la carica q viene lasciata libera di muoversi. Determinare:

1. la velocità di q quando essa passa per il centro dell'esagono.

Svolgimento

Problema 3

Il circuito di figura è costituito di due tratti radiali e di due archi di circonferenza (raggi r e R, angolo al centro θ), con centro P, situati nel piano [i, j].

Calcolare:

1. il campo magnetico in P, quando nel circuito circola una corrente i, nel verso di figura.

Svolgimento

Svolgimento del problema 1

1. Per la legge di Biot-Savart il modulo dell'induzione magnetica B(t) al tempo t e a distanza r da un lungo filo rettilineo percorso dalla corrente I è . Nella situazione proposta il vettore B è sempre perpendicolare al piano della spira; in particolare, se la corrente scorre verso l'alto, il vettore B ha verso entrante e viceversa. Dato che B dipende solo dalla distanza r dal filo, si può pensare di scomporre l'area del rettangolo in 'strisce' rettangolari di altezza l e base dr.

   

   Indicando con n il versore normale alla superficie diretto verso chi guarda, il flusso di B per uno di questi rettangolini risulta e il flusso su tutta la superficie è

   

2. Per la legge di Faraday la f.e.m. è data da

   

3. La potenza istantanea del circuito è e il suo valor medio in un periodo è dove

   Un periodo è e quindi l'energia dissipata in un periodo è da cui

   

Svolgimento del problema 2

1. Considerando le coppie di cariche positive simmetriche rispetto al centro dell'esagono, si può lavorare su un piano verticale che contiene le due cariche positive e quella negativa. In questa situazione, le componenti delle forze coulombiane esercitate dalle cariche positive sulla carica negativa parallele al piano dell'esagono si annullano a vicenda, mentre quelle perpendicolari si sommano. L'angolo fatto dalla forza esercitata da ogni carica positiva rispetto alla verticale è di 45°, quindi la forza totale esercitata sulla carica negativa è diretta verso il centro dell'esagono e ha modulo

   

2. L'energia potenziale del sistema in questa situazione è data dalla somma dell'energia potenziale delle cariche sul piano più l'energia potenziale della carica - Q. Quindi

   

3. Se la carica q viene lasciata libera, quando passa per il centro dell'esagono la sua energia potenziale diventa . Per la conservazione dell'energia, essendo U₁ sempre la stessa, si ha , da cui

Svolgimento del problema 3

1. è nullo sui tratti radiali. Ogni singolo tratto dl di arco circolare di raggio x genera un contributo dB all'induzione magnetica in P di modulo e quindi un arco di ampiezza θ produce un contributo totale

   L'arco interno genera induzione di verso +k mentre quello esterno genera induzione di verso -k. L'induzione risultante è quindi