Quesito 1

Un corpo di massa M=2 kg si muove in un campo di forza dipendente dal tempo t dato da (misure espresse nel S.I.)
F=24t² i + (36t -16) j - 12t k.

Supposto che per t = 0 s il corpo sia posto in r_o = 3 i - j + 4 k
e abbia velocità v_o = 6 i + 15 j - 8 k (misure espresse nel S.I.), trovare:

1. le posizioni del corpo negli istanti t₁=1 s e t₂=2 s;
2. l'energia cinetica del corpo negli istanti t₁ e t₂;
3. il lavoro compiuto dalla forza nell'intervallo tra gli istanti t₁ e t₂.

Risoluzione

Dividendo l'espressione della forza in funzione del tempo per la massa si ottiene l'accelerazione in funzione del tempo:

Integrando l'espressione dell'accelerazione rispetto al tempo, sfruttando la conoscenza della velocità iniziale, si ottiene l'espressione della velocità in funzione del tempo:

Con una ulteriore integrazione rispetto al tempo, sfruttando la conoscenza della posizione iniziale, si ottiene l'equazione oraria:

Calcolando il valore dell'equazione oraria per gli istanti indicati si ottiene:

a)

b)

Calcolando le velocità negli istanti indicati si ha:

da cui

Dato che la massa è 2 Kg, i valori dell'energia cinetica si ottengono moltiplicando i quadrati delle velocità per 1 Kg. In definitiva

c)

Il lavoro, per il teorema dell'energia cinetica, è dato immediatamente dalla differenza tra i valori trovati in b):

L = 2592 J

Quesito 2

Una particella di massa 2 unità si muove lungo la curva dello spazio definita da
r=(4t² - t³) i - 5t j + (t⁴ - 2) k .

Trovare:

1. la forza che agisce sulla particella negli istanti t₁=1 s e t₂=2 s;
2. il lavoro compiuto dalla forza tra gli istanti t₁ e t₂.

Risoluzione

Con un processo inverso a quello applicato nel quesito precedente, dall'equazione oraria, con successive derivazioni rispetto al tempo, si ottengono velocità e accelerazione:

a)

Per ricavare l'espressione della forza in funzione del tempo si moltiplica l'accelerazione per la massa:

e quindi

b)

Per il calcolo del lavoro conviene applicare il teorema dell'energia cinetica: si ricavano i valori v²(1) e v²(2) e quindi si moltiplica la loro differenza per la metà della massa: