Sia y(x) una funzione reale continua incognita della variabile reale x e siano a(x) e b(x) funzioni reali continue note di x. Un'equazione differenziale lineare del primo ordine stabilisce una relazione tra y e la sua derivata prima riducibile alla forma
Casi paricolari.
Se a(x) = 0, la soluzione è, per definizione,
Se a(x) costante = a e b(x) costante = 0, l'equazione, detta a variabili separabili, può essere riscritta come
e quindi integrando i differenziali di entrambi i membri
dove C e K sono costanti.
Nel caso generale per la soluzione di questa equazione si può procedere nel seguente modo.
Si definisce la funzione m(x) tale che:
Indicando con A(x) l'antiderivata di a(x):
la funzione m(x) può essere espressa come
Moltiplicando entrambi i membri della (1) per m(x) si ha
e, per la proprietà (4) di m(x)
Il primo membro della (6) è la derivata del prodotto m(x)y(x):
Integrando entrambi i membri
Utilizzando nella (7) l'espressione (5) di m(x) si ottiene
Casi particolari.
a(x) è costante non nulla: a(x) = a
dove C e K sono costanti. Dalla (6) si ha
a(x) costante = a e b(x) costante = b
Dalla (9)
Esempi
Dalla (3)
Dalla (10)
Dalla (9) si ha
Il numeratore si integra agevolmente per parti e si ottiene
In questo caso a(x)=tan(x) e b(x)=cos(x) dunque
Dalla (6) si ha
