Equazioni differenziali lineari del primo ordine

(R. Bigoni)


Sia y(x) una funzione reale continua incognita della variabile reale x e siano a(x) e b(x) funzioni reali continue note di x. Un'equazione differenziale lineare del primo ordine stabilisce una relazione tra y e la sua derivata prima riducibile alla forma

Eqn001.gif

Per la soluzione di questa equazione si può procedere nel seguente modo.

  1. Si definisce la funzione m(x) tale che:

    Eqn003.gif

  2. Indicando con A(x) l'antiderivata di a(x):

    Eqn002.gif

    la funzione m(x) può essere espressa come

    Eqn004.gif

  3. Moltiplicando entrambi i membri della (1) per m(x) si ha

    Eqn005.gif

    e, per la proprietà (2) di m(x)

    Eqn006.gif

  4. Il primo membro della (4) è la derivata del prodotto m(x)y(x):

    Eqn007.gif

    Eqn008.gif

    Integrando entrambi i membri

    Eqn009.gif

    Eqn010.gif

  5. Utilizzando nella (5) l'espressione (3) di m(x) si ottiene

    Eqn011.gif

Esempi

  1. Eqn020.gif

    In questo caso a(x)=1 e b(x)=x, dunque A(x)=x e

    Eqn021.gif

    Dalla (6) si ha

    Eqn022.gif

    Il numeratore si integra agevolmente per parti e si ottiene

    Eqn023.gif

    Con Wolfram Alpha

  2. Eqn024.gif

    In questo caso a(x)=tan(x) e b(x)=cos(x) dunque

    Eqn025.gif

    Dalla (6) si ha

    Eqn026.gif

    Con Wolfram Alpha