Problema 2

Esame di stato 2019 - Liceo Scientifico - Prova di Matematica

Svolgimento del Problema 2

testo


Quesito 1

Eqn001.gif

La somma nel radicando è sensata solo se a è un tempo. La frazione è dimensionalmente [T2]. L'induzione B è dimensionalmente [M][T-2][I-1]. r è dimensionalmente [L].

Eqn002.gif

L'unità di misura di k può essere espressa come kg/(A·m).

Nel vuoto, in assenza di correnti e in presenza di un campo elettrico variabile nel tempo, si ha

Eqn003.gif

Se ΦE non è costante, B non è nullo.

All'nterno del condensatore le linee di forza di E sono perpendicolari alle armature e dirette dal potenziale alto al potenziale basso. Le linee di forza di B sono circonferenze concentriche centrate sull'asse di simmetria del condensatore. In ogni punto i due campi sono rispettivamente perpendicolari.


Quesito 2

La circuitazione di B è

Eqn004.gif

dunque

Eqn005.gif

Il calcolo dell'integrale a secondo membro è facilitato dal cambiamento di variabile τ = t2+a2:

Eqn006.gif

In definitiva

Eqn007.gif

Dividendo il flusso per la superficie si ottiene il campo

Eqn008.gif

Moltiplicando il campo E per la distanza tra le armature si ottiene la differenza di potenziale V tra di esse.

Eqn009.gif

Per t→∞

Eqn010.gif

cioè il campo tende ad una costante, la sua derivata tende ad annullarsi e conseguentemente anche B tende ad annullarsi.


Quesito 3

Eqn011.gif

Dal calcolo già svolto nel quesito precedente

Eqn012.gif

Eqn013.gif


Quesito 4

Grafici per a=1

fig001.png

F(t) è continua e derivabile infinite volte, così f(t); F(t) è pari, quindi f(t) è dispari con grafico simmetrico rispetto all'origine;
dove F(t) ha un estremo, f(t) si annulla; dove F(t) ha flessi, f(t) ha estremi.

Data la simmetria della curva, l'area richiesta è il doppio dell'integrale di f(t) da -a/√2 a 0.
Eqn016.gif

Data la simmetria centrale della curva
Eqn017.gif