Problema 2

(testo della prova)

Quesito 1

• x>1

  

  Indicando con y la lunghezza del segmento PT, per il teorema della tangente e della secante si ha

  

• x<-1

  

  Con lo stesso procedimento si ottiene

  

• -1≤x≤1

  

  Indicando con d la misura del segmento PT, per il secondo teorema di Euclide si ha

  

In tutti e tre i casi esaminati si ha

Quesito 2

Si è visto che, se |x|≤1,

cioè

che è la semicirconferenza di base del problema. Se invece |x|>1 si ha

equivalente a

Dato che y è intrinsecamente positiva, il grafico è costituito dai punti di ordinata positiva dell'iperbole equilatera di semiasse reale 1.

Sulla base di tali considerazioni è possibile disegnare immediatamente il grafico della funzione e rilevarne le caratteristiche principali senza che sia necessario ricorrere alla procedura standard. Si ottiene infatti

• La funzione è definita reale su tutto R, è sempre non negativa e si annulla nei punti A(-1;0) e B(1;0) dove ha due minimi assoluti. Diverge per x→∞ e ammette gli asintoti obliqui di equazione y=±x.
• La funzione è crescente in ]-1;0[ e in ]1;+∞[, decrescente in ]-∞;-1[ e ]0;1[ e ha un massimo relativo in M(0;1). Per x=±1 la funzione non è derivabile. I punti A e B sono due cuspidi.
• Tranne che per x=±1, la concavità è sempre negativa.

Quesito 3

Per la simmetria della δ le aree indicate sono uguali. Ognuna di esse si ottiene sottraendo dall'area del rettangolo di base MD e altezza 1 l'area di un quarto di circonferenza e l'area sottesa dall'arco BD dell'iperbole.

• L'ascissa di D si ottiene risolvendo l'equazione , quindi l'area del rettangolo è .

• L'area di un quarto di cerchio è

• L'area sottesa dall'arco BD di iperbole è data dell'integrale

  Per il calcolo di questo integrale è conveniente la sostituzione di x con un coseno iperbolico:

  

  L'integrale è equivalente a

  

  Integrando per parti si ha

  

  e quindi

  

  Applicando la regola di Torricelli si ottiene

  

  Ognuna delle aree indicate vale quindi

  

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  Quesito 4

  I volumi indicati si posono ottenere sottraendo dal volume di un cilindro di altezza e raggio di base unitario il volume di mezza sfera di raggio unitario e il volume generato dalla rotazione dell'arco BD di iperbole.

  • Il volume del cilindro è
  • Il volume della semisfera è

  • Il volume generato dalla rotazione di BD è

    

  I volumi di rotazione hanno quindi misura

  

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