Sia p(x) il primo membro dell'equazione proposta
,
per il teorema di Bolzano p(x) si annulla in un solo punto: l'equazione ammette una sola soluzione negativa.
Se k>0, si ha
dunque p(x) ha un minimo in
e tende a +∞ per
x che tende a ±∞.
Se 
non ci sono soluzioni.
Se 
ci sono due soluzioni coincidenti.
Se 
ci sono due soluzioni distinte.
Poiché
, perché per k positivo,
p(xm) sia negativo deve essere
Dunque l'equazione proposta ammette due soluzioni distinte per k > e.
La discussione può anche essere impostata graficamente, interpretando la ricerca degli zeri dell'equazione assegnata come ricerca delle ascisse dei punti di intersezione delle curve di equazione
Per k = 0 non ci sono soluzioni. Per k < 0 c'è una sola soluzione.
Per k > 0 il sistema ammette due soluzioni coincidenti se la tangente all'esponenziale coincide con la
retta passante per l'origine. L'equazione della tangente all'esponenziale nel punto
è
Questa tangente passa per l'origine e quindi coincide con la retta se
cioè se
. Il punto di tangenza è quindi
e la retta passa per T se
.
Per 0 < k < e non ci sono soluzioni, Per k > e ci sono due soluzioni distinte.
La funzione
ha uno zero per x=2 e, per l'analisi svolta al punto precedente, un minimo assoluto per
. Dunque l'altro zero si ha
per x<xm. Assumendo come approssimazione iniziale a questo secondo zero il valore
x0=0, con il metodo delle tangenti si ottiene
La stima a meno di un centesimo dello zero diverso da 2 è 0.41.
.
La retta per A e C ha equazione
L'area richiesta è data dall'integrale
Sviluppando si ha
