(a cura di Roberto Bigoni)
Il vertice di γ' e γ'' è il punto P ( λ ; λ2 ) e γ' e γ'' hanno direttrici parallele all'asse delle ascisse.
La distanza fuoco-vertice e la distanza vertice-direttrice per le tre parabole è 1/4.
Per γ' si ha dunque
La parabola è il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice, quindi
Sviluppando i quadrati, semplificando ed esprimendo y in funzione di x si ha
Per γ'' si ha
Con procedura analoga a quella adottata per γ' si ottiene
Come viene eloquentemente indicato dal grafico e come è ovvio, la γ', che ha asse parallelo a quello di γ, uguale distanza focale e ugual concavità, risulta da una traslazione di γ
Nel quesito precedente si sarebbe potuto traslare l'equazione di γ per ottenere più direttamente l'equazione di γ'.
La γ'' può essere ottenuta direttamente calcolando la simmetrica di γ rispetto al punto
Le equazioni della simmetria centrale risultano
Sulla natura delle trasformazioni s'è già detto.
Le traslazioni non hanno né punti uniti né rette unite; le simmetrie centrali hanno come punto unito il centro di simmetria.
Le parabole, per λ = 1, hanno le seguenti equazioni
Le coordinate dei punti T, T1, T2 risultano
Le distanze contemplate nella funzione z sono
La funzione z ( h ) è quindi
z ( h ) ha singolarità in 0 e 1. La singolarità in 1 è eliminabile, per cui nel dominio ]-∞ ; 1[ U ]1 ; ∞[ il suo andamento coincide con quello di
z ( h ) nel dominio è sempre ≥ 1.
Per h > 1
la funzione è costante e il suo grafico è una semiretta parallela all'asse delle ascisse.
Per 0 > h > 1
z ( h ) si comporta come una funzione omografica di asintoti h = 0 e z = -1.
Per h < 0
z ( h ) si comporta come una funzione omografica di asintoti h = 0 e z = +1.
