Problema 1

La parabola γ passa per l'origine, interseca inoltre l'asse delle ascisse nel punto di ascissa 2, ha vertice in V ( 1 ; - 1/2 ).

I punti A' e B' hanno coordinate

fig. 5

Le tangenti a γ in A' e B' si possono determinare applicando la 'regola di sdoppiamento':

fig. 6

fig. 7

E' immediato concludere che le tangenti a e b, avendo uguale intercetta, si intersecano sull'asse delle ordinate, nel punto

fig. 8

Le ascisse dei punti C e D si trovano azzerando le funzioni delle rette a e b

fig. 9

L'area del triangolo CED può essere ottenuta dalle coordinate dei vertici:

fig. 10

Poiché λ per ipotesi è positivo, la funzione da studiare è

fig. 11

Il dominio della funzione è ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; ∞ [.

Nel dominio la funzione è sempre positiva. Il grafico non interseca gli assi.

Per λ->0, s ( λ ) -> 0. Per λ->1 e λ->∞ la funzione diverge e non ha asintoti obliqui.

Per λ = 1 il grafico ha un asintoto verticale.

Per lo studio della pendenza e della concavità, in questo caso conviene riferirsi alla funzione

fig. 12

che coincide con s ( λ ) se λ > 1 ed è opposta ad essa per 0 > λ > 1.

Derivando la s₁ ( λ ) si ottiene:

fig. 13

Il segno della s₁ ( λ ) dipende solo dal segno del fattore ( 3 λ² - 5 ), per cui la s₁ ( λ ) è crescente per λ > √ ( 5 / 3).

Per s ( λ ) si può quindi dire che:

è crescente in ] 0 ; 1[ U ] √ ( 5 / 3) ; ∞ [;
è descescente in ] 1 ; √ ( 5 / 3) [;
ha un minimo relativo per λ = √ ( 5 / 3)

Il valore del minimo risulta

fig. 14

Derivando la s '₁ ( λ ) si ottiene:

fig. 15

Il trinomio a numeratore ha discriminante negativo, dunque è sempre positivo; λ è sempre positivo, per cui il segno della s' '₁ ( λ ) è positivo per λ > 1; la s' ' ( λ ) è sempre positiva e quindi il grafico di s ( λ ) ha concavità ovunque positiva e non ha flessi.

fig. 16

Per λ_o = √ ( 5 / 3) le coordinate dei punti D, E, A risultano

fig. 17

L'area richiesta può essere ottenuta come somma delle aree del triangolo DOE e del triangolo mistilineo OEA'

L'area del triangolo DOE risulta

fig. 18

L'area del triangolo mistilineo OEA' è data dall'integrale

fig. 19

La somma delle due aree è

fig. 20

L'equazione da risolvere è

fig. 21

equivalente, nelle condizioni assegnate, a

Tabulando λ³ e 4 λ² - 4 a partire da 1 si ha

λ	λ³	4 λ² - 4
1	1	0
2	8	12
3	27	32
4	64	60

Si nota che le due funzioni, entrambe continue, devono assumere lo stesso valore in due punti: λ₁, compreso tra 1 e 2, e λ₂, compreso tra 3 e 4. Questi due punti sono le soluzioni dell'equazione e coincidono con gli zeri della funzione

Si può tentare di approssimare λ₁ con il metodo delle tangenti, controllando se la successione z_i costruita con questo metodo cominciando con z_o = 1 converge. Ricavando la derivata di z ( λ ), con il metodo delle tangenti si ha

fig. 24

Con l'uso di una calcolatrice tascabile si ottiene la sequenza
1; 1,2; 1,19394; 1,19394; ...

La successione evidentemente converge e il metodo può essere considerato affidabile.

Implemetazione Javascript

function Nuovo(x)
  {
    return x-(x*x*(x-4)+4)/(x*(3*x-8));
  }

function Approssimazione(n)
  {
    epsilon = Math.pow(10,-n);
    result = 1;
    do
      {
        x = result;
        result = Nuovo(x);
      } while(Math.abs(result-x) >= epsilon); 
    return result;
  }