Problema 2

(a cura di Roberto Bigoni)

fig. 30

  1. Lo spigolo AC misura 5, lo spigolo VC misura √41.
    Nel triangolo VBC il lato VB misura 4√2 e la somma del quadrato di questo lato con il quadrato del lato BC risulta 41, come il quadrato del terzo lato VC. Dunque il triangolo VBC è rettangolo in B.

     

     

  2. Il volume è un terzo di quello del prisma di ugual base e uguale altezza:

    fig. 31

    La superficie totale è data dalla somma delle superfici delle quattro facce:

    fig. 32

     

     

  3. fig. 33

    L'area S' del triangolo PQR è proporzionale al quadrato della distanza di P dal vertice V. Detta S l'area del triangolo ABC

    fig. 34

    Il volume del tetraedro MPQR risulta

    fig. 35

     

     

  4. La funzione da studiare è

    fig. 36

    v ( x ) continua e non negativa in tutto il dominio. Si annulla per x = 0 e per x = 2. Il suo grafico quindi tocca l'asse delle ascisse nei punti O e A ( 2 ; 0 ) . Nell'estremo superiore del dominio v ( x ) assume valore 4, quindi il grafico ha punti di arresto in O e nel punto B ( 4 ; 4 ) .

    Per 0 ≤ x ≤ 2 la funzione è espressa da

    fig. 37

    Le derivate prima e seconda in questo dominio risultano

    fig. 38

    v ' ( x ) è positiva (funzione crescente) in ] 0 ; 4/3 [, negativa (funzione decrescente) in ]4/3, 2], nulla per x = 4/3. Il grafico ha un massimo relativo nel punto M ( 4/3 ; 4/27 ).

    v ' ' ( x ) è positiva (concavità verso l'alto) in [ 0 ; 2/3 ], negativa (convacità verso il basso) in ]2/3, 2], nulla per x = 2/3. Il grafico ha un flesso obliquo nel punto F ( 2/3 ; 2/27 ).

    Per 2 < x ≤ 4 la funzione è espressa da

    fig. 39

    Le derivate prima e seconda in questo dominio risultano

    fig. 40

    La funzione è crescente con concavità positiva.

    Le derivate sinistra e destra in x = 2 sono rispettivamente -1/2 e +1/2. A è un punto angoloso.

    Il massimo assoluto della funzione si ha in B.

    fig. 41

     

     

  5.  

    fig. 50

    Nel triangolo VPD' il lato VD' misura 2√2, il lato VP misura x e l'angolo in V misura π/4. Per il teorema del coseno si ha

    fig. 51

    Nel triangolo PAE il lato AE misura 4, il lato PA misura 4-x. Per il teorema di Pitagora si ha

    fig. 52

    La funzione da minimizzare nel dominio [0 ; 4] è

    fig. 53

    La derivata prima è

    fig. 54

    Dato che i radicandi sono positivi su tutto R, il dominio di positività della derivata prima si ottiene risolvendo la disequazione

    fig. 55

    Per 0 < x < 4, se x < 2, il primo membro è negativo e il secondo è positivo: la condizione non è mai vera.

    Per 2 < x < 4, entrambi i membri sono positivi ed elevandoli entrambi al quadrato si ottiene una disequazione equivalente

    fig. 56

    Sviluppando il calcolo algebrico si ottiene

    fig. 57

    La somma cala da 0 a 8/3, cresce da 8/3 a 4: ha un minimo per x = 8/3 cioè quando il punto P dista 8/3 da V.

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