(a cura di Roberto Bigoni)
La T1 è una trasformazione lineare di matrice
cioè una omotetia di centro O.
La T2 è una trasformazione lineare di matrice
cioè una rotazione di argomento π/2.
La T3 è una traslazione di parametri 2 e -1.
Concatenando le tre trasformazioni si ottiene
cioè
Componendo due trasformazioni lineari si ottiene una trasformazione lineare. Componendo poi una trasformazione lineare con una traslazione si ottiene una trasformazione detta affinità. Quindi la T è una affinità.
In generale le affinità trasformano rette in rette e mantengono il parallelismo. Inoltre il rapporto tra le aree di due figure piane corrispondenti in una affinità è uguale al modulo del determinante dell'affinità.
Le traslazioni e le rotazioni sono isometrie, lasciano cioè invariate le lunghezze dei segmenti e le aree delle figure. Le omotetie lasciano invariati gli angoli tra lette ma 'scalano' le lunghezze. In definitiva l'affinità T, data dalla composizione di una omotetia con una rotazione e una traslazione è una similitudine: mantiene gli angoli tra le rette, raddoppia le lunghezze dei segmenti e quadruplica le aree.
Un punto unito si trasforma in se stesso, quindi le sue coordinate si determinano risolvendo il sistema
L'affinità T ammette il punto unito U ( 4/5 ; 3/5 ).
E' immediato dedurre che i punti C, D,
E sono i vertici di un triangolo equilatero il cui
circocentro Z, coincidente con il baricentro, si trova
sulla mediana OC ad un terzo della sua lunghezza: Z
( 1; 0 ).
La circonferenza circoscritta γ ha raggio r =
2.
L'area del segmento circolare S delimitato dalla retta a e dal minore degli archi CD si ottiene facilmente dividendo per tre la differenza tra l'area di γ e l'area del triangolo CDE.
Ovviamente l'area rimanente S' si ottiene sottraendo dall'area del cerchio l'area del segmento circolare S.
Poiché, come s'é detto, la similitudine quadruplica le aree, le aree richieste si ottengono moltiplicando per 4 quelle trovate.
Il segmento CD ha ovviamente misura identica a
quella del segmento DE.
Il minore degli archi CD ha misura pari ad un terzo di
quella della circonferenza, il maggiore ha misura doppia.
I perimetri dei due segmenti circolari sono quindi
I perimetri delle figure trasformate dalla similitudine sono doppi:
