Se una funzione reale di variabile reale f(x), continua e derivabile in un dominio D, in tale dominio ha n zeri ordinati x1, x2, ...xn, per il teorema di Rolle la sua derivata f'(x) si deve annullare almeno una volta all'interno di ogni intervallo delimitato da due zeri consecutivi. Viceversa, ad ogni zero di f'(x) possono corrispondere non più di due zeri di f(x).
Quindi, se f'(x) ammette un solo zero, f(x) ha al massimo due zeri; se f'(x) ammette solo due zeri, f(x) ha al massimo tre zeri e così via.
Nel caso particolare di
continua e derivabile su tutto R e quindi in qualunque intervallo sottinsieme di R, si ha
Gli zeri di questa funzione si ottengono dall'equazione
Se n è pari, n-1 è dispari e l'equazione ha un solo zero reale. Dunque f(x) ha al massimo due zeri.
Se n è dispari, n-1 è pari e l'equazione, se p<0, ha due zeri reali. Dunque f(x) può avere al massimo tre zeri.