La derivata della funzione
definita reale solo per x positive, è
Per x positive la derivata è sempre maggiore di 3, quindi ovviamente positiva: la funzione è crescente in tutto il suo dominio e quindi biunivoca ed invertibile.
La derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione diretta. Quindi
Per calcolare g'(3) bisogna poter determinare quale argomento di f(x) ha per immagine 3. Bisogna cioè risolvere l'equazione
Scrivendo l'equazione nella forma
si può ottenere graficamente la soluzione di questa equazione valutando l'ascissa dell'intersezione tra la curva logaritmica ln x (che passa per il punto (1;0) ) e la retta di intercetta 3 e coefficiente angolare -3 (che passa pure per il punto (1;0) ). La costruzione del grafico appare superflua in quanto è evidente che le due curve si incontrano in un sol punto e che questo punto è (1;0). Dunque l'argomento di x inversamente corrispondente a 3 è 1 e quindi
