Il semplice quesito si può risolvere in modo molto elementare, ma per dare l'impressione di saper qualcosa di calcolo combinatorio, conviene inquadrarlo come applicazione del calcolo di disposizioni semplici
Anche questo semplice quesito appare formulato in modo abbastanza infelice con dati
ridondanti e forse fuorvianti. In base al testo proposto si deve supporre che le scelte
delle scatole siano equiprobabili e quindi ognuna di esse abbia probabilità uguale ad 1/3.
Indicando con P(A), P(B), P(C) le probabilità di estrarre rispettivamente dalle scatole A,
B, C e con P(D|A) la probabilità di estrarre una lampadina difettosa dopo aver scelto la scatola A, ecc.,
la probabilità richiesta P si
ottiene dalla somma
Il volume di un cono è un terzo del prodotto dell'area di base per l'altezza.
Data l'apotema a, indicando con α l'angolo OBA (0 < α < π/2 ) si ha
e quindi
Nel primo quadrante il seno è sempre positivo: per analizzare il segno della derivata prima basta risolvere la disequazione
Il volume è massimo quando
Con a = 2 dm si ha a3 = 8 litri.
Per risolvere il quesito è sufficiente considerare un qualunque polinomio con quattro zeri reali e poi traslarlo 'alzandolo' di 2 unità. Ad esempio:
ha zeri in ±1 e ±2. Il polinomio
soddisfa la richiesta.
I polinomi sono funzioni continue e derivabili su tutto R. Se un polinomio ha almeno due zeri diversi (su questo punto il testo è impreciso), cioè assume lo stesso valore 0 in due punti distinti x1 e x2, allora esiste almeno un punto in ]x1 ; x2[ in cui si annulla la sua derivata prima. Il polinomio della seconda equazione è appunto la derivata prima del polinomio della prima equazione.
Il polinomio p(x)=x3+bx-7 ha derivata prima p ' (x) =3x2+b
Se b è positivo, p ' (x) è sempre positiva, p(x) è sempre crescente ed ha solo uno zero reale. Se b è nullo, p(x) ha come radice reale solo la radice cubica di 7. Dunque è necessario che b sia negativo. Ponendo β = - b, gli estremi relativi di p(x) si hanno per
Imponendo che gli estremi relativi di p(x) siano discordi si ottiene
Limitandosi a valori interi di b, rispondono alla richiesta tutti i valori minori di -6.
L'integrale proposto è uno dei più noti in analisi matematica
Per approssimarne il valore con la regola dei trapezi, si può suddividere l'intervallo [0 ; 1] in cinque sottointervalli Δx di ampiezza 0,2. Si ottiene
Il volume di rotazione attorno all'asse delle ascisse di un arco di curva f(x), delimitato dai punti di ascissa x1 e x2, è dato dall'integrale
Per rispondere al quesito è quindi sufficiente che il solido richiesto sia quello generato dalla rotazione attorno all'asse delle ascisse dell'arco di curva di equazione
delimitato dalle ascisse 0 e 1.
La dizione del testo permette comunque anche procedure come la seguente:
Si calcola l'integrale
Si propone qualunque solido il cui volume sia quello calcolato: il caso più semplice è il cubo di lato
Da f ' ' (x) = sen x, integrando, si ottiene f ' (x) = - cos x + k
Utilizzando la condizione al contorno si ottiene
Quindi
Integrando la derivata prima si ottiene la f(x)
Si ha quindi
Le radici dell'equazione data si possono ottenere graficamente dalle ascisse dei punti di intersezione delle curve di equazioni
Dal grafico si vede che l'equazione ammette tre radici: x1 in [-3 ; -2], x2 in [0 ; 1], x3 in [1 ; 2].
Per approssimare il valore di x2 si può usare il metodo delle tangenti assumendo come valore iniziale della successione di approssimazioni 0:
Si ottiene
z0 = 0
z1 = 0,333333...
z2 = 0,347222...
z3 = 0,347296...
z4 = 0,347296...