Il numero di chicchi coincide con il massimo numero naturale esprimibile con 64 bit, cioè 264-1, cioè 18446744073709551615. Se 1000 chicchi pesano 38g, un miliardo di chicchi pesano 38 tonnellate. Il peso totale del grano risulterebbe 38·18446744073,709551615, cioè circa 700976274801 tonnellate.
Una esauriente risposta si trova in Wikipedia
Scegliendo un sistema di riferimento piano ortogonale con asse delle ascisse coincidente con la retta e asse delle ordinate passante per A, si indicano con a l'ordinata di A, con b e c le coordinate di B, e con x l'ascissa del punto sulla retta. Si ha quindi
È ovvio che una x che minimizzi s(x) deve essere 0<x<b.
Azzerando la derivata prima di s(x) si ha
Risolvendo si ottiene
Usando questo risultato si osserva che gli angoli acuti formati dai segmenti AP e PB con l'asse delle ascisse sono uguali o, con una interpretazione 'ottica' del problema, "l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione".
Graficando separatamente i membri dell'equazione si ottengono una retta e una sinusoide che si intersecano in un sol punto di ascissa molto prossima a 2.
Applicando il metodo delle tangenti e assumendo come valore iniziale della successione x0=2, la successione converge abbastanza rapidamente.
In generale
In particolare, con a e b entrambi uguali a 1, si ha
Si ha che
e quindi
Intersecando i due insiemi si ha
Per De Finetti la probabilità "non esiste" in quanto non rappresenta una proprietà oggettivamente definibile dei sistemi naturali, ma solo una modo umano di stimare le proprietà di tali sistemi. Questo modo è inevitabilmente soggettivo e può essere rappresentato dall'importo p, (la puntata) che un ipotetico giocatore deve essere razionalmente disposto a scommettere sul particolare esito di un esperimento al quale esito sia associato un guadagno lordo unitario, ad esempio 1€. Il guadagno è detto lordo in quanto il guadagno netto è 1-p.
Ad esempio, quanto è ragionevole pagare per partecipare ad un gioco consistente nel lancio di una moneta, nel quale, se viene testa, si vince 1€? Non è detto che la risposta sia 0.5&euro, in quanto vari indizi potrebbero indurre a pensare che la moneta sia mal coniata o manomessa.
In mancanza di tali indizi, la definizione di probabilità soggettiva proposta da De Finetti, coincide sia con la teorica probabilità a priori, applicabile quando si possono enumerare casi possibili e casi favorevoli, sia con l'empirica probabilità a posteriori, deducibile dalle frequenze relative degli eventi in un campione sufficientemente grande.
La probabilità di non fare nessun centro con n tiri è
Questa probabilità deve essere minore dell'1%, cioè
In definitiva, n=13.
È immediato verificare che l'esponenziale naturale gode di tutte le proprietà richieste.
Tuttavia, volendo articolare la risposta in modo più formale, si può risolvere
l'equazione differenziale
per
separazione delle variabili:
Dalla condizione al contorno si desume che la costante additiva di integrazione è nulla, quindi
Dall'uguaglianza proposta si deduce la serie di Leibniz
Sono comunque accettabili approssimazioni basate sul metodo dei rettangoli o, meglio, sul metodo dei trapezi.