Problema 1

Quesito 1

Il luogo dei punti C tali che è il maggiore degli archi AB della circonferenza circoscritta ad un quadrato di lato AB. Il raggio di tale circonferenza è .

Sul segmento AB possono essere costruiti due quadrati, quindi possono esistere due di tali circonferenze con centri .

Le distanze d e d' dei due centri dalla retta y=2x sono

dunque l'unica circonferenza che interseca la retta è quella con centro in Z, di equazione

I punti di intersezione della circonferenza con la retta si ottengono risolvendo il sistema

Si ottiene

Le coordinate dei punti di intersezione sono quindi quelle dichiarate nel testo.

Quesito 2

Indicando con le coordinate di un punto C sulla retta, si ha immediatamente che l'equazione di una delle altezze del triangolo ABC è . Per determinare la posizione dell'ortocentro si può procedere nel seguente modo.

Si calcola il coefficiente angolare m della retta BC:
Si calcola l'antireciproco m' di m:
Nel fascio di rette di coefficiente angolare m' si sceglie quella passante per A, cioè l'equazione dell'altezza per A:
L'ortocentro è il punto di intersezione delle due rette così determinate e le sue coordinate sono date dalla soluzione del sistema
Per descrivere tutte le possibili posizioni dell'ortocentro, cioè l'equazione del luogo γ, con un'equazione esplicita y(x) basta sostituire x a t nella seconda equazione:

Grafico di γ

La funzione non è definita per x=0. Non è né pari né dispari.
È positiva in ]-∞;0[U]1;3[; negativa in ]0;1[U]3;∞[; ha zeri in {1;3}.
Ha un asintoto verticale x=0 e un asintoto obliquo
La funzione è crescente in , decrescente in , ha un minimo relativo in e un massimo relativo in
La concavità è positiva per x negative e viceversa. Non ci sono flessi.