Problema 2

Quesito 1

• f(x) è un funzione polinomia definita reale e derivabile infinite volte per ogni x reale.
• f(x) è dispari, dunque il suo diagramma è simmetrico rispetto all'origine e ha un flesso nell'origine.

• Analisi del segno

  

  • Se k è positivo o nullo, f(x) ha segno coincidente con quello di x.
  • Se k è negativo, f(x) è negativa in , positiva in , nulla in .
• In tutti i casi f(x) diverge positivamente per x→+∞ e negativamente per x→-∞.

• Analisi della pendenza

  

  • Se k è positivo, f'(x) è sempre positiva: la funzione è sempre crescente.
  • Se k è nullo, la funzione è sempre crescente tranne che per x= 0, valore per il quale il grafico ha un flesso orizzontale.
  • Se k è negativo, f'(x) ha zeri , quindi decresce nell'intervallo delimitato dagli zeri, cresce esternamente a tale intervallo, ha un massimo relativo nel primo zero e un minimo relativo nel secondo.

• Analisi della concavità

  

  Il segno della concavità concide con quello di x. Si conferma la presenza di un flesso nell'origine.

Quesito 2

Assumendo , per le considerazioni precedenti, f(x) è non decrescente su tutto r mentre y(x) è crescente: le curve non possono intersecarsi che in un solo punto.

L'ascissa dell'intersezione si ottiene determinando lo zero della funzione differenza . Poiché

per il teorema di Bolzano lo zero è comprezo tra 0 e 1 e può essere approssimato con il metodo delle tangenti assumendo 1 come valore iniziale (per x=0 d(x) ha un flesso) e . Si ottiene

Quesito 3

La funzione f(x) è non decrescente in tutto il dominio e quindi invertibile su tutto il dominio. La funzione inversa è il cui grafico è simmetrico di quello di f(x) rispetto alla bisettrice del primo quadrante.

Limitandosi al primo quadrante, le due curve si intersecano nell'origine e nel punto I(1;1). L'area da esse delimitata può essere calcolata raddoppiando l'area delimitata dalla bisettrice e da f(x), cioè calcolando

Si ottiene

Quesito 4

Dato che le sezioni sono rettangoli di uguale altezza, la loro area è proporzionale alla loro base, che è data dal doppio della distanza PH di un punto P di γ dalla bisettrice del quadrante e quindi, in ultima analisi, è funzione solo di tale distanza per cui è sufficiente massimizzare tale distanza (figura).

Ricordando che la distanza di un punto P(x_P;y_P) dalla retta di equazione ax+by+c=0 è espressa da

la funzione da massimizzare è

Per 0<x<1 si ha più semplicemente

Per 0<x<1 la derivata prima si annulla per , valore per cui la derivata seconda è negativa e quindi valore massimante.

Il massimo dell'area è

Il volume di W si ottiene semplicemente moltiplicando l'area di base calcolata nel quesito 3 per l'altezza (12) e risulta 6.