Limiti tendenti a e

(a cura di Roberto Bigoni)

Le funzioni a numeratore e a denominatore della frazione sono entrambe continue su tutto ℜ ma entrambe si annullano per x=0. È dunque impossibile calcolare immediatamente il limite della frazione come rapporto tra i limiti del numeratore e del denominatore.

In un intorno di 0 numeratore e denominatore soddisfano ai requisiti del teorema di De L'Hôpital e quindi il limite della frazione può essere calcolato come rapporto tra i limiti delle derivate per x→0, ottenendo immediatamente il valore 1.

Il calcolo del limite è ancora più diretto se si utilizza lo sviluppo in serie dell'esponenziale naturale

È anche possibile dedurre il valore del limite applicando il teorema del confronto.

Si considerino le funzioni

Graficandole insieme in un intorno di 0 si ha

Il grafico evidenzia che per x non nulle

Ovviamente un grafico, pur essendo indicativo, non può avere valore di prova matematica, ma non è difficile verificare separatamente la validità di tutte le disequazioni. Per ogni x positivo si ha quindi

Poiché per x→0 le funzioni esterne tendono a 1, anche la funzione compresa tra di esse tende a 1.

Se x è negativo, dividendo le tre funzioni per x i confronti cambiano di verso e la situazione non cambia.

Volendo evidenziare geometricamente i confronti tra le tre funzioni nell'intervallo ]0 ; 1[, si può procedere nel seguente modo.

Si graficano le tre funzioni
Si traccia la retta dei punti di ascissa x ∈ ]0;1[ che interseca le tre curve e si costruiscono i rettangoli come in figura. Le lettere sovrapposte ai rettangoli ne rappresentano le rispettive misure.
a+b = x;
a+b+c+d = e^x-1; dunque e^x-1 > x;
f+c+a = x e^x
f = x; quindi x e^x > x;
x e^x - (e^x - 1) = a - d

Da a > d segue che x e^x > e^x - 1