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1. La sezione aurea di un segmento e il numero aureo

Dato un segmento AB se ne esegue la sezione aurea ('il taglio dorato') individuando un suo punto interno S tale che il quadrato di lato AS sia equivalente al rettangolo di lati AB e SB.
In modo del tutto equivalente si può dire che il segmento AS deve essere medio proporzionale tra AB e SB.

fig. 1

Eqn001.gif

Dette λ la misura del segmento AB e σ la misura del segmento AS si ha

Eqn002.gif

Risolvendo la proporzione rispetto a σ si ottiene

Eqn003.gif

Il segmento AS è detto parte aurea del segmento AB.

Il rapporto tra un segmento e la sua parte aurea è detto numero aureo ed è solitamente indicato con il simbolo Φ.

Eqn004.gif

Il reciproco del numero aureo Φ è indicato con il simbolo φ.

Eqn005.gif

La relazione tra σ e λ suggerisce un modo per eseguire la sezione aurea di un segmento AB di lunghezza λ con riga e compasso:

fig002.gif

La definizione della sezione aurea implica che il segmento SB è a sua volta la parte aurea del segmento AS.

Eqn008.gif

La perpendicolare al segmento AB per A interseca Σ nel punto E. Il rettangolo di lati AB e AE è detto rettangolo aureo.

fig003.gif

Se, viceversa, dato un segmento di misura σ, si vuole costruire un segmento di lunghezza λ di cui il precedente sia la parte aurea, si può operare nel seguente modo:

Infatti, per il teorema delle corde secanti

Eqn009.gif

e, poiché Eqn010.gif

Eqn011.gif

BQ è congruente a PA che è dato da Eqn012.gif, quindi

Eqn013.gif

Lo schema di composizione fornito dal rettangolo aureo ha avuto notevole importanza nella storia dell'arte occidentale.