(a cura di Roberto Bigoni)
(English)
Cliccare sui punti A, B, C per spostarli, evitando di alterare il loro ordinamento in senso antiorario.
Si attribuisce a Napoleone Bonaparte la dimostrazione del seguente teorema:
Se sui lati di un triangolo qualunque si costruiscono tre triangoli equilateri esterni a quello dato e si congiungono i loro centri, si ottiene un triangolo equilatero.
Tra le numerose dimostrazioni disponibili in rete, la più diretta e la più adatta all'ambiente liceale italiano sembra la seguente, presentata nel sito cut-the-knot e leggermente adattata nella grafica.
Con riferimento alla figura, si noti innanzitutto che m è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato c e n è due terzi dell'altezza del triangolo equilatero di lato b:
Applicando il teorema del coseno al triangolo APR si ha
Sempre per il teorema del coseno, nel triangolo ABC si ha
Sostituendo questo risultato nella precedente espressione e ricordando che bcsenα è il doppio dell'area S del triangolo ABC, si ha
In definitiva, dato il triangolo ABC, il lato PR è costante, quindi PR=PQ=QR, cioè il triangolo PQR è equilatero.
ultima revisione: Giugno 2020