Se i punti A e B hanno uguale ordinata h, la retta per A e B è parallela all'asse delle ascisse.
In questo caso dalla (3.3) si ottiene
Si può viceversa dire che ogni equazione di forma (4.1) rappresenta una retta parallela all'asse delle ascisse.
Analogamente, se i punti A e B hanno uguale ascissa k, la retta per A e B è parallela all'asse delle ordinate.
In questo caso dalla (3.3) si ottiene
Si può viceversa dire che ogni equazione di forma (4.2) rappresenta una retta parallela all'asse delle ordinate.
In particolare le equazioni y=0 e x=0 rappresentano rispettivamente l'asse delle ascisse e l'asse delle ordinate.
Viceversa, una qualunque equazione di primo grado in due variabili x e y
con a, b e c tutti non nulli, può essere interpretata come equazione della retta per i punti
(P e Q si trovano rispettivamente sull'asse delle ascisse e sull'asse della ordinate: la retta non è parallela a nessuno degli assi)
Infatti, sostituendo le coordinate di P e Q al posto di quelle di A e B nella (3.3) si ottiene
che, semplificata, produce la (4.3).
Si può quindi dire che la (4.3) con a, b e c tutti non nulli, rappresenta in generale una retta non parallela a nessuno degli assi.
La (4.3) è detta equazione della retta in forma implicita.
Dalla (4.3), esprimendo y come funzione di x si ottiene
Ponendo
la (4.4) viene scritta
Questa è la forma esplicita dell'equazione di una retta non parallela agli assi (le rette parallele agli assi hanno equazioni del tipo (4.1) e (4.2)).
I parametri m e q della (4.6) sono detti rispettivamente coefficiente angolare e intercetta o ordinata all'origine.
q, che coincide con l'ordinata del punto Q della (4.4), è detto ordinata all'origine perché coincide con l'ordinata del punto della retta che si trova sull'asse delle ordinate.
Il parametro m coincide con l'opposto del rapporto tra l'ordinata del punto Q e l'ascissa del punto P, indicati nella (4.4), cioè i punti in cui la retta interseca gli assi. Riferendosi al triangolo OQP della figura 3 si vede che m coincide con la tangente trigonometrica dell'angolo OPQ, cioè l'angolo che il segmento orientato PQ forma con il verso positivo dell'asse delle ascisse.
L'equazione (4.3) è l'equazione di un luogo geometrico, cioè dell'insieme di tutti e soli i punti P(xP;yP) le cui coordinate verificano l'equazione stessa.
Operativamente, per decidere se un punto P appartiene alla retta, si controlla se le sue coordinate azzerano il primo membro della (4.3) o, più in generale, se verificano le equazioni ad essa equivalenti.
In particolare, l'appartenenza dell'origine alla retta, implica nella (4.3) c=0 e, nella (4.7), q=0.
La seguente applicazione Javascript disegna la retta di coefficiente angolare m e intercetta q
I valori in input possono interi, razionali rappresentati da frazioni, irrazionali in notazione decimale o espressi da costanti o funzioni (es. P, E, Sqrt[2], Sin(P/10), ecc.)
e anche da espressioni.
L'applicazione funziona solo se il browser in uso permette i pop-up.