8. Equazione in coordinate polari


Per poter descrivere una retta r nel piano usando le coordinate polari in luogo delle più comuni coordinate cartesiane è anzitutto necessario stabilire un sistema di riferimento scegliendo un punto che funga da polo e una semiretta polare con origine nel polo.

Se si pone il polo sulla retta r stessa, qualunque sia la semiretta polare, tutti i punti di una semiretta di r avranno uguale anomalia α mentre i punti dell'altra semiretta avranno anomalia α + π e l'equazione di r risulterà semplicemente

r: (θ = α) V (θ = α + π) {α costante, 0≤α≤π}

Questa situazione è analoga a quella che si ha nei sistemi cartesiani per le rette parallele a uno degli assi.

Il modulo ρ può assumere qualunque valore non negativo.

Nell'ipotesi più generale che il polo sia scelto esternamente a r e che r formi in angolo γ (-π/2 ≤ γ ≤ π/2) rispetto alla semiretta polare, l'equazione polare della retta può essere dedotta da quella esplicita cartesiana quando si assuma il polo come origine del piano cartesiano e la retta contenente la semiretta polare come asse delle ascisse.

Da y = m x + q  (q ≠ 0), ricordando le relazioni tra coordinate polari e cartesiane

x = ρ cos θ
y = ρ sin θ

si ha

ρ sin θ = m ρ cos θ + q

Esplicitando ρ in funzione di θ

Eqn001.gif

Ricordando inoltre che m = tg γ si ha

Eqn002.gif

Eqn003.gif

Inoltre

Eqn023.gif

quindi

Eqn022.gif

ρ non può essere negativo, quindi nell'espressione di ρ il denominatore sin(θ-γ) deve avere lo stesso segno del numeratore q. Inoltre 0 ≤ θ ≤ 2π. Si conclude quindi che:

  1. se q è positivo

    Eqn004.gif

    1. se γ<0:   Eqn005.gif
    2. se γ≥0:   Eqn006.gif

    il valore minimo di ρ si ha quando il denominatore è massimo, cioè quando il valore di sin(θ-γ)=1; il valore minimo è quindi q cosγ;

  2. se q è negativo

    Eqn007.gif

    1. se γ<0:   Eqn008.gif
    2. se γ≥0:   Eqn009.gif

    in questo caso il valore minimo di ρ è -q cosγ.

In entrambi i casi il valore minimo di ρ può essere espresso come

Eqn024.gif

La (8.3) può essere usata per calcolare direttamente la distanza di un punto A(xA;yA) da una retta r: y = mx+q. Infatti, traslando l'origine O in A e mantenendo gli assi cartesiani paralleli, l'equazione della r diventa

Eqn025.gif

Detta H la proiezione ortogonale di A su r si ha

Eqn026.gif

Esempi.

  1. Per la retta di equazione cartesiana y = x + 1 si ha q = 1 e γ = π/4, dunque la sua equazione polare risulta

    Eqn010.gif

    con Eqn011.gif

    La distanza della retta dal polo (origine del piano cartesiano) è data dal valore minimo di ρ: Eqn014.gif.

    Tale minimo si ha quando il denominatore della funzione è massimo, cioè quando il seno vale 1.

    Eqn012.gif

    L'unica soluzione nel dominio è Eqn013.gif

  2. Per la retta di equazione cartesiana y =2 x - 3 si ha q = -3 e γ = arctan 2 con Eqn015.gif, dunque la sua equazione polare risulta

    Eqn016.gif

    con Eqn017.gif

    La distanza della retta dal polo risulta Eqn018.gif

    Perché il seno a denominatore valga 1

    Eqn019.gif

    L'unica soluzione nel dominio è Eqn020.gif

Può essere un utile esercizio cercare l'intersezione tra le due rette proposte lavorando sulle loro equazioni polari. A tale scopo conviene, nella seconda equazione, risostituire γ a arctan 2, ricordare che il modulo di sin γ è Eqn021.gif e che la soluzione per θ deve appartenere all'intersezione tra i due domini.

 

La seguente applicazione Javascript calcola l'equazione polare di una retta dati il suo coefficiente angolare e la sua intercetta;
può calcolare anche il valore di ρ corrispondente ad una anomalia θ indicata.
I valori in input possono interi, razionali rappresentati da frazioni, irrazionali in notazione decimale o espressi da costanti o funzioni (es. P, E, Sqrt[2], Sin(P/10), ecc.) e anche da espressioni.
L'applicazione funziona completamente solo se il browser in uso permette i pop-up.