1. Le funzioni circolari (o trigonometriche)


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fig. 1

Dato nel piano cartesiano Oxy il grafico della circonferenza γ con centro nell'origine O e raggio unitario, la cui equazione è Eqn1.gif, siano V il punto in cui γ intercetta il semiasse positivo delle ascisse e P(x;y) un suo punto qualunque. Le coordinate x e y di P sono funzioni dell'angolo VOP di misura α e, se questa misura è in radianti, anche della lunghezza dell'arco VOP che ha misura numericamente identica a α.

Se si indica con P' il punto di γ simmetrico di P rispetto all'asse delle ascisse, anche l'area del settore circolare P'OP coincide numericamente con α. Si possono quindi interpretare le coordinate di P come funzioni parametriche dell'area del settore circolare P'OP.

Queste funzioni sono dette rispettivamente coseno circolare (o più semplicemente coseno) e seno circolare (o più semplicemente seno) di α.

Quindi

Eqn2.gif

e, dall'equazione di γ,

Eqn3.gif

Il rapporto tra seno e coseno è detto tangente circolare

(o più semplicemente tangente)

Eqn4.gif

Dalle definizioni di seno e coseno si ha

Eqn18.gif

Il coseno è una funzione pari, mentre il seno e la tangente sono funzioni dispari, quindi il grafico del coseno è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, i grafico del seno e della tangente sono simmetrici rispetto all'origine.

fig. 2

Inoltre, per ogni numero intero k,

Eqn019.gif

cioè seno, coseno e tangente, sono funzioni periodiche con periodo per il seno e il coseno e π per la tangente.

La seguente applicazione Javascript permette il calcolo dei valori delle tre funzioni. L'argomento può essere espresso in forma sessagesimale o come reale.
Se l'argomento è reale si intende in radianti. È possibile esprimere l'argomento come multiplo o sottomultiplo di π che va immesso come P.

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Quanto più P si avvicina a V, tanto più il settore circolare P'OP diventa indistinguibile da un triangolo isoscele di altezza OV=1 e base PP' = 2sinα. In un triangolo il rapporto tra il doppio dell'area e la base è uguale all'altezza, per cui

Eqn5.gif

Se si muove il punto P(x;y) in senso antiorario lungo γ spazzando un angolo β, si arriva al punto Q(X;Y) of γ, tale che Eqn7.gif, dove

Eqn8.gif

Se si applica alle coordinate del punto P(x;y) di γ la trasformazione

Eqn6.gif

si ottiene proprio Eqn7.gif, quindi la trasformazione (1.5) trasforma il punto P nel punto Q.

In generale, trasformazioni del tipo (1.5) trasformano una circonferenza in se stessa. Queste trasformazioni sono dette rotazioni.

Si ottiene

Eqn9.gif

Le (1.6) sono le formule di addizione per il coseno e per il seno.

Formule di addizione con WolframAlpha.

Dalle formule di addizione si possono agevolmente ottenere altre utili identità, come le formule di duplicazione

Eqn10.gif

Formule di duplicazione con WolframAlpha.

Dalle formule di addizione si ottengono anche le formule di prostaferesi (o formule di Simpson)

Eqn11.gif

Formule di prostaferesi con WolframAlpha

La derivata di sin x rispetto a x, per definizione, è

Eqn12.gif

Per la quarta formula di prostaferesi il numeratore è

Eqn13.gif

quindi

Eqn14.gif

La derivata di cos x rispetto a x, per definizione, è

Eqn15.gif

Per la seconda formula di prostaferesi il numeratore è

Eqn16.gif

quindi

Eqn17.gif

La derivata di tan x rispetto a x, si ottiene derivando il rapporto tra seno e coseno

Eqn025.gif


Le funzioni circolari inverse e le loro derivate

Seno e coseno hanno come dominio l'insieme dei reali ℜ e codominio [-1;1] e sono periodiche dunque non sono funzioni biunivoche. Si possono definire le loro funzioni inverse solo restringendo il loro dominio a un sottinsieme in cui siano strettamente crescenti o decrescenti.


Integrali immediati

Note le derivate delle funzioni circolari dirette e inverse, è immediatamente possibile risalire alle antiderivate delle derivate, cioè ottenere gli integrali indefiniti delle derivate.