3. La funzione esponenziale naturale


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Se si sommano membro a membro le identità (2.6) si ottiene

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quindi

Eqn2.gif

Introducendo la funzione exp(x) data dalla somma di coseno e seno iperbolici

Eqn3.gif

dalla (3.1) si ottiene

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Dalla (3.3) si può dedurre che la funzione exp(x) è una potenza. Essa infatti gode della proprietà tipica delle potenze: il prodotto di due potenze di ugual base è una potenza della stessa base e con esponente dato dalla somma degli esponenti.

La funzione exp(x) è detta esponenziale naturale e la sua base

Eqn5.gif

è indicata con e e detta numero di Eulero (spesso nei testi italiani numero di Nepero).

Il numero e è un irrazionale trascendente il cui valore, che può essere approssimato indefinitamente con opportuni algoritmi, alcuni dei quali saranno esposti in seguito, è circa 2.71828182.

In definitiva, la funzione exp(x) può essere espressa come potenza di e

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cosh x e sinh x sono definiti per ogni x ∈ R, tale e quindi anche la loro somma ex.

cosh x è sempre positivo e il suo valore assoluto è sempre maggiore di quello di sinh x, per cui ex è sempre positiva.

Se h>0, eh>1, quindi ex è sempre crescente. Infatti, per ogni h positivo, Eqn7.gif

Dato che ex è sempre crescente non ha né minimo né massimo.

Eqn9.gif

Dato che la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate dei suoi addendi, si ottiene che

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Dalla (3.5) si ha

Eqn11.gif

e conseguentemente

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