11. Sviluppo in serie di Fourier.

Nel paragrafo precedente si è visto come una funzione φn dello spazio vettoriale Φn può essere espressa come

Eqn1022.gif

Le funzioni di Φn (definite nell'intervallo [-π;π]) hanno le seguenti proprietà:

Se il valore di n è finito, Φn non comprende tutte le possibili funzioni con queste caratteristiche. Si può però congetturare che, all'aumentare di n, l'insieme Φn tenda a coincidere con l'insieme Φ di tutte le funzioni periodiche φ(x) di periodo 2π, continue, derivabili e di valor medio nullo in [-π;π], cioè che

Eqn1101.gif con Eqn1102.gif

La congettura può essere generalizzata ed applicarsi all'insieme P di tutte le funzioni (reali di variabile reale) periodiche p(x) di periodo 2π, continue, derivabili e di valor medio Eqn1103.gif ottenendo

Eqn1104.gif

Quest'ultima relazione, ideata da J. Fourier, è oggi nota come sviluppo in serie di Fourier ed è stata teoricamente convalidata dal lavoro di numerosi matematici dell'Ottocento e del Novecento, che ne hanno dimostrato l'applicabilità anche a classi di funzioni periodiche sottoposte a condizioni meno restrittive di quelle qui proposte.

Questo sviluppo in serie può essere facilmente adattato a funzioni periodiche di periodo qualunque 2L con la sostituzione di variabile desumibile dalla proporzione Eqn1105.gif.

Se un funzione p(x) è dispari, tutti i coefficienti ak sono nulli e sono da calcolare esplicitamente solo i coefficienti bk.

Esempio.

Eqn1106.gif

Eqn1107.gif; Eqn1108.gif; Eqn1109.gif; Eqn1110.gif;

Eqn1111.gif; ... Eqn1112.gif;...

Eqn1113.gif

La seguente applicazione Javascript permette di osservare come, al crescere del numero di armoniche, cioè del numero di termini nella sommatoria, questa approssima sempre più la funzione p(x) = x.
Le ascisse xA e xB sono multiple di π.
L'applicazione, come le seguenti, funziona appropriatamente solo se il vostro browser permette i popup.

 

Se un funzione p(x) è pari, tutti i coefficienti bk sono nulli e sono da calcolare esplicitamente solo i coefficienti ak.

Esempio.

Eqn1114.gif

Eqn1115.gif; Eqn1116.gif; Eqn1117.gif; Eqn1118.gif

Eqn1119.gif; Eqn1120.gif; ... Eqn1121.gif

Eqn1122.gif

La seguente applicazione Javascript permette di osservare come, al crescere del numero di armoniche, cioè del numero di termini nella sommatoria, questa approssima sempre più la funzione p(x) = x2.
Le ascisse xA e xB sono multiple di π.

 

Lo sviluppo di un polinomio si ottiene sommando gli sviluppi dei suoi monomi.

Esempio.

Eqn1123.gif

La seguente applicazione Javascript permette di osservare come, al crescere del numero di armoniche, cioè del numero di termini nella sommatoria, questa approssima sempre più la funzione p(x) = x2-2x.
Le ascisse xA e xB sono multiple di π.