Dato il vettore v(x;y), si dice prodotto di v per un numero reale a il vettore r(ax;ay).
Un insieme di vettori reali in cui è definito il prodotto per un numero reale è uno spazio vettoriale (o spazio lineare) In questo contesto un numero reale è denominato scalare.
Dati due vettori w(wx;wy) e v(vx;vy) si dice prodotto scalare v·w il numero reale wxvx+wyvy.
Il prodotto scalare dei vettori w(wx;wy) e v(vx;vy può essere efficacemente rappresentato nel seguente modo
in cui il vettore w è rappresentato da una matrice riga e il vettore v è rappresentato da una matrice colonna. Il prodotto scalare si ottiene moltiplicando ordinatamente ogni elemento del vettore riga per ogni elemento del vettore colonna.
Adottando una notazione e una terminologia proposta da
P.A.M. Dirac le matrici riga sono
rappresentate da
vettori bra (scritti <w|) e le matrici colonna da vettori
ket (scritti |v>) nel seguente modo:
La radice quadrata del prodotto scalare del vettore v per se stesso può essere assunta come norma di v e indicata nel seguente modo:
Nel prodotto scalare di un vettore L1(L1,1;L1,2) per un vettore v(x,y) di ℜ2
L1 può essere interpretato come un operatore che, applicato al vettore v, gli fa corrispondere in modo univoco il numero reale
Per fare corrispondere ad ogni vettore v(x;y) una coppia di numeri reali che possano essere interpretati come componenti di un vettore v’(x’;y’), univocamente corrispondente a v, è necessario accoppiare il primo operatore L1 con un secondo operatore L2(L2,1;L2,2) tale che
La coppia ordinata L dei due operatori L1 e L2 può essere complessivamente rappresentata da una matrice quadrata di due righe e due colonne (secondo ordine)
detta matrice dell'operatore L. In generale, nel seguito, quando non ci siano ambiguità, si userà lo stesso simbolo L per l'operatore e per la sua matrice.
L è un operatore che fa corrispondere in modo univoco al vettore v(x;y) il vettore v’(L1,1x+L1,2y; L2,1x+L2,2y):
Più sinteticamente si può scrivere
e si interpreta tale scrittura dicendo che l'applicazione dell'operatore L al vettore v produce il vettore v’ o, più semplicemente, che il prodotto di L per v dà v’.
Risulta quindi che il prodotto di un operatore L per un vettore v è un vettore le cui componenti si ottengono moltiplicando ordinatamente gli elementi di ogni riga della matrice dell'operatore L per gli elementi del vettore.
Si dice anche che L trasforma il vettore v nel vettore v’.
L'operatore L possiede le seguenti proprietà (a è uno scalare)
Tutti gli operatori (come ad esempio gli operatori di derivazione e di integrazione) che, come L, possiedono tali proprietà, sono detti operatori lineari.
L'operatore I di matrice
è tale che moltiplicato per qualunque vettore dà il vettore stesso. L'operatore I è detto Identità.