Se al vettore
si applica l'operatore K di matrice
si ottiene
Applicando ordinatamente le procedure di moltiplicazione di una matrice per un vettore, si ha
Quindi l'applicazione successiva al vettore v dei due operatori L e K equivale all'applicazione dell'unico operatore P di matrice
Denominando prodotto P di K per L l'applicazione successiva dei due operatori L e K, si conclude che l'operatore P ha matrice
La matrice P è detta prodotto delle matrici K per L.
Il prodotto di due matrici quadrate è una matrice quadrata i cui elementi sono dati dalla somma dei prodotti degli elementi di ogni riga della prima matrice per gli elementi di ogni colonna della seconda matrice.
Il prodotto di due matrici non è commutativo, cioè in generale KL≠LK.
La matrice I (Identità) moltiplicata per qualunque altra dà per risultato l'altra matrice. La matrice I è l'elemento neutro del prodotto tra matrici e commuta con tutte le matrici.
Sull'insieme delle matrici quadrate dello stesso ordine può essere definita anche l'operazione di somma: date due matrici quadrate di ugual ordine, la loro somma è la matrice i cui elementi sono la somma degli elementi di ugual posizione delle due matrici.
Questa definizione di somma implica che la somma di matrici di ugual gode delle stesse proprietà della somma dei reali: è associativa e commutativa e,considerata come matrice nulla la matrice di ugual ordine con elementi tutti nulli, per ogni matrice la matrice opposta si ottiene cambiando il segno di ogni elemento della matrice data. L'insieme delle matrici quadrate di ugual ordine con questa operazione di somma è un gruppo commutativo (o abeliano).
Le considerazioni esposte nel caso di vettori e matrici quadrate bidimensionali possono essere estese e a vettori e matrici reali di dimensioni superiori e, senza notevoli complicazioni concettuali, si possono applicare a vettori e matrici definiti sul campo dei numeri complessi. In generale possono essere estese a tutti gli operatori lineari.