4. Operatori lineari in algebra: i sistemi lineari

Un sistema lineare del tipo

può essere interpretato nel seguente modo

Si tratta cioè di determinare, se è possibile, un vettore v(x;y) tale che, applicando ad esso l’operatore S di matrice , si ottenga il vettore v’(c;c’) o, più sinteticamente, di risolvere l'equazione

Dall'algebra elementare si ottiene

Condizione necessaria perché il sistema abbia una soluzione determinata è che l'espressione  che compare a denominatore delle due frazioni a secondo membro non sia nulla. Tale espressione formata solo dagli elementi della matrice di S è detta determinante di S.

N.B.: In questa esposizione, per chiarezza didattica e grafica, si denotano le matrici inserendo i loro elementi tra parentesi tonde e i loro determinanti inserendo gli elementi tra parentesi quadrate.

Indicando con Δ il determinante di S, se tale determinante non è nullo, si può scrivere

Indicando con S^-1 l’operatore la cui matrice appare a secondo membro si può sinteticamente scrivere che la soluzione dell'equazione

è data da

La matrice S^-1 moltiplicata per S da come risultato la matrice Identità. Si può quindi dire che S^-1 è la matrice reciproca (o inversa) di S.

La matrice reciproca di S esiste solo se il determinante di S non è nullo.

Quindi condizione necessaria perché una matrice sia invertibile è che il suo determinante non sia nullo.

Una matrice quadrata bidimensionale invertibile individua una trasformazione lineare biunivoca tra i vettori di ℜ²

In generale, per calcolare la matrice inversa di una matrice si può seguire questa procedura.

• Si calcola il determinante della matrice. Per matrici quadrate di ordine superiore a 2 si può usare la regola di Laplace

  .
• Si scrive la matrice trasposta cioè la matrice che si ottiene scambiando righe e colonne della matrice data;
• Si scrive la matrice i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi corrispondenti della matrice trasposta divisi per il determinante.

Per complemento algebrico di un elemento L_i,jdi una matrice si intende il determinante che si ottiene eliminando nella matrice data la riga i e la colonna j moltiplicato per (-1)^i+j.

In seguito, parlando di trasformazioni lineari, si intenderà sempre una trasformazione lineare invertibile.

Questo metodo può essere esteso a sistemi di grado superiore. Ovviamente all'aumentare del grado del sistema la mole di calcolo aumenta notevolmente, per cui è utile ricorrere a strumenti di calcolo automatico come, ad esempio un foglio elettronico o software specializzato come Mathematica (©Wolfram). In questo sito è disponibile l'applicazione Supercalcolatrice.