Se si applica un vettore a all'origine O di un sistema cartesiano ortogonale Oxyz e si proietta il vettore su ognuno degli assi, si ottengono tre vettori: questi vettori sono i componenti cartesiani del vettore dato. La somma dei tre componenti corrisponde al vettore dato.
Come è noto dalla geometria analitica, ad ogni punto dello spazio reale tridimensionale corrisponde una terna ordinata di numeri reali, detti coordinate cartesiane del punto. Alla punta del vettore a corrisponde quindi biunivocamente una terna di numeri reali che sono detti le componenti cartesiane del vettore.
Ogni singolo componente può essere considerato il prodotto di un vettore unitario equiverso con l'asse, detto versore dell'asse, per la componente corrispondente.
Indicando con i, j, k i versori degli assi cartesiani e con ax, ay, az le componenti cartesiane del vettore si ha
Dati due vettori a e b, raccogliendo a fattor comune i versori degli assi, si ottiene immediatamente
L'opposto del vettore b risulta
e la differenza a-b
Applicando la proprietà distributiva, cioè moltiplicando vettorialmente ogni addendo della prima somma per ogni addendo della seconda somma, si ha
Tutti i prodotti vettoriali di un versore per se stesso sono nulli. Quindi il prodotto si riduce a
Osservando poi che
e che, cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto vettoriale cambia di segno, si ottiene in definitiva
Usando il formalismo dei determinanti è comodo, anche mnemonicamente, rappresentare il prodotto vettoriale a x b nel seguente modo
Applicando la proprietà distributiva, cioè moltiplicando scalarmente ogni addendo della prima somma per ogni addendo della seconda somma, si ha
Osservando che il prodotto scalare di un versore per se stesso vale 1 e che il prodotto scalare di due versori diversi è nullo (sono perpendicolari) il prodotto si riduce a
Spazi vettoriali e operatori lineari