Giroscopio


Precessione


Un disco rigido di massa m, con raggio molto grande rispetto al suo spessore, ruota in senso antiorario con velocità angolare costante ω attorno ad un perno rigido OG di massa trascurabile, di lunghezza b, saldato al suo baricentro G, perpendicolare al suo piano e vincolato senza attriti al punto fisso O.

fig001.jpg

Se il corpo ha momento di inerzia I rispetto all'asse di rotazione, il suo momento angolare s, che sarà indicato come momento angolare di spin, ha modulo Eqn002.gif.

Indicando con u il versore dell'asse di rotazione, con i, j e k i versori degli assi del sistema di riferimento del laboratorio, con φ l'angolo che u forma con k e con θ l'angolo che la proiezione di u sul piano ij forma con i si ha

Eqn003.gif

e quindi

Eqn004.gif

Se ω è costante si ha

Eqn019.gif

Indicando con il vettore b la posizione di G rispetto a O si ha inoltre

Eqn006.gif

Sul baricentro G agisce la forza peso Eqn005.gif:

fig002.jpg

Il momento torcente del peso τ è quindi

Eqn007.gif

Dai principi della meccanica rotazionale si ha

Eqn008.gif

Se l'angolo φ è nullo anche τ è nullo; la derivata del momento angolare rispetto al tempo è nulla; il momento angolare è costantemente

Eqn009.gif

Per angoli φ > 0 (e ovviamente minori di un angolo piatto) si ha

Eqn011.gif

La componente nel verso k a secondo membro deve essere nulla. Quindi

Eqn014.gif

cioè l'angolo φ è costante. Uguagliando le altre due componenti risulta

Eqn015.gif

L'asse di rotazione del corpo, cioè il versore u, ruota a sua volta attorno al versore k con velocità angolare di modulo costante

Eqn016.gif.

Tale velocità angolare è detta velocità angolare di precessione ed è rappresentata vettorialmente da Eqn028.gif.

Tale comportamento è evidenziato nei giroscopi e sfruttato in numerose applicazioni.

Un giroscopio in You Tube. (Disabilitare la noiosissima e incongruente pubblicità)

Esempio

Un disco di massa Eqn021.gif e raggio Eqn022.gif ruota attorno al suo asse con frequenza Eqn023.gif su un perno lungo Eqn024.gif.

Ricordando che il momento di inerzia I del disco è Eqn025.gif, si ottiene

Eqn026.gif

Con φ costante e Eqn031.gif, il versore u e la sua derivata rispetto al tempo del risultano

Eqn029.gif

Si ha quindi

Eqn030.gif

Ma la presenza della velocità angolare di precessione significa che il disco, oltre a ruotare sul proprio asse di simmetria u, in un tempo Eqn027.gif compie una rotazione completa anche attorno all'asse k. Quindi al momento angolare di spin va aggiunto il momento angolare dovuto a questa rotazione.

Questa correzione può essere trascurabile se Ω è molto piccolo, cioè se il prodotto è molto grande, ma in caso contrario implica conseguenze notevoli sulla meccanica del disco, dando luogo al fenomeno detto nutazione.

 


Nutazione


Detto Ik il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse k, il contributo al momento angolare totale L di questa rotazione risulta

Eqn100.gif

e il momento angolare totale L è quindi

Eqn101.gif

Derivando rispetto al tempo si ottiene

Eqn102.gif

Quindi la velocità angolare di precessione Ω in effetti non riguarda il vettore s, cioè il momento angolare di spin, ma il vettore L del momento angolare totale: è L che ruota attorno all'asse k con velocità angolare costante Ω mentre s a sua volta ruota attorno a L con velocità angolare ω.

Di conseguenza, detto φ0 l'angolo costante che L forma con il versore k, detto φ l'angolo tra s e k e detto α il massimo scostamento angolare di φ da φ0, φ oscilla sinusoidalmente nel tempo con pulsazione ω.

Con una opportuna scelta dell'istante iniziale si ha

Eqn103.gif


ultimo aggiornamento: 31/01/2020