3. Propagazione dell'energia in un mezzo materiale elastico continuo.

I comuni corpi fisici dotati di estensione, caratterizzati quindi oltre che dalla loro massa m anche dal loro volume , possono essere idealizzati come costituiti da infiniti elementi infinitesimi di volume d ognuno dei quali contiene una massa infinitesima dm tali che per ognuno di essi può essere definita la densità ρ

quindi

Se ρ è costante, cioè se il corpo è omogeneo,

Se la masserella dm, collocata nel punto O, interagisce con le masserelle contigue in modo che uno spostamento dalla sua posizione di equilibrio sia contrastato da una forza opposta allo spostamento e direttamente proporzionale ad esso, cioè da una forza elastica, la massa dm risponde ad un suo spostamento con un moto armonico. A sua volta lo spostamento di una massa dm, per effetto delle sue interazioni con le masserelle contigue, determina un loro spostamento dalla posizione di equilibrio e quindi anche queste masserelle cominceranno ad oscillare con moto armonico.

Questo è ciò che succede, ad esempio, quando un sasso colpisce un punto O sulla superficie immobile di uno stagno. Il punto O, spostato dalla sua posizione di equilibrio dall'impatto del sasso, dopo l'affondamento del sasso, è sottoposto a forze contrarie allo spostamento, dovute alla tensione superficiale e alla forze intermolecolari, e incomincia ad oscillare con moto armonico; dopo un po' di tempo, ogni altro punto P della superficie dello stagno oscillerà con moto armonico, come si può verificare osservando il moto di qualunque oggetto abbastanza piccolo che galleggi nello stagno.

Il fenomeno di oscillazione che investe tutti i punti della superficie dello stagno è detto onda sinusoidale. La superficie dello stagno è il mezzo di propagazione dell'onda. Gli insiemi dei punti contigui della superficie che oscillano in fase, cioè che in ogni istante hanno la stessa quota, sono circonferenze dette fronti d'onda. La minima distanza tra due fronti d'onda i cui punti oscillano in fase tra di loro è detta lunghezza d'onda. Il punto O, centro dei fronti d'onda, è detto sorgente dell'onda.

Il moto armonico di O è descritto, nell'esempio dello stagno, dall'andamento nel tempo della sua quota z rispetto alla superficie imperturbata dello stagno. Con una opportuna scelta dell'origine dei tempi, z varia nel tempo secondo la legge

dove A, l'ampiezza, rappresenta in questo caso il modulo dello scostamento massimo della quota z_O dalla posizione di equilibrio.

Se si ammette che O possa mantenere nel tempo la sua ampiezza e che il mezzo sia perfettamente elastico, in qualunque altro punto P, posto a distanza r da O, dopo un certo tempo t, dipendente da r e dal modulo della velocità costante v di propagazione della perturbazione, la quota z di P comincerà ad oscillare con moto armonico, con ugual ampiezza e pulsazione, ma in ritardo rispetto a O, ritardo tanto maggiore quanto maggiore è la distanza da O e tanto minore quanto maggiore è la velocità di propagazione dell'onda.

z quindi varierà nel tempo con andamento espresso da

Ma in generale ciò che succede alla quota di un punto sulla superficie di uno stagno può verificarsi per altre grandezze, scalari o vettoriali, indicate di seguito con il simbolo Ψ, funzioni variabili nel tempo della posizione di un punto P di un mezzo continuo se P viene raggiunto da una perturbazione di queste grandezze generata da una sorgente O a distanza r da P e propagantesi con velocità costante v.

Il punto P sarà in generale un punto di un mezzo tridimensionale, quindi i fronti d'onda (supponendo il mezzo omogeneo e isotropo) saranno superfici sferiche.

Il comportamento della grandezza Ψ, in analogia con quello della quota z della (3.5), sarà espresso da

La (3.6) è detta equazione d'onda.

Sostituendo nella (3.6) l'espressione di ω della (2.10) si ottiene anche

Il prodotto vT rappresenta lo spazio percorso dall'onda in un periodo T, detto lunghezza d'onda λ

Si ha quindi

Possono risultare utili le animazioni in Onde.

In particolare in un mezzo materiale unidimensionale un punto P di massa dm che oscilla armonicamente con ampiezza A e pulsazione ω, per la (2.13), ha energia totale

Considerando come volume infinitesimale d quello di un guscio sferico centrato sulla sorgente O, di raggio r e spessore dr

dalla (3.8) si ottiene

Dividendo entrambi i membri per dt

Il primo membro della (3.10) rappresenta la potenza che attraversa una superficie sferica di raggio r, cioè la quantità di energia che attraversa la superficie nell'unità di tempo.

La (3.10) evidenzia quindi che quando un'onda si propaga in un mezzo c'è propagazione di energia senza spostamento di massa.

Confrontando questo risultato e quello ottenuto nel paragrafo 1, si può dire che l'energia si propaga nello spazio con due modalità fondamentali:

• tramite il moto di particelle: in questo caso l'energia, localizzata sulle particelle, si propaga in quantità discrete;
• tramite la propagazione di onde in un mezzo continuo elastico: in questo caso l'energia è diffusa in tutto il volume investito dall'onda e si propaga in modo continuo.

I due modi di propagazione differiscono molto tra di loro per un motivo fondamentale: due onde, emesse da due diverse sorgenti, possono sovrapporsi senza disturbarsi l'una con l'altra in uno stesso punto dello spazio: in questo caso il comportamento del punto raggiunto dalla due onde viene condizionato contemporaneamente da entrambe (interferenza) , ma le onde proseguono la loro propagazione senza subire modifiche delle loro caratteristiche; due particelle invece non possono coesistere nello stesso punto dello spazio: avvicinandosi l'una all'altra interagiscono violentemente (si 'urtano') subendo cambiamenti notevoli del loro stato meccanico (velocità, energia, ecc...).

I fisici del settecento e dell'ottocento, di fronte a fenomeni di propagazione di energia, come ad esempio la propagazione della luce o alla emissione di radiazione da un catodo, si chiedevano se tale fenomeno fosse dovuto alla emissione di onde o di particelle, ritenendo incompatibili, mutuamente esclusive, le due modalità.

Per la luce prevalse la teoria ondulatoria, proprio perché gli esperimenti di Young e altri fisici dimostrarono che la luce presenta fenomeni di interferenza. I raggi catodici invece furono interpretati dai fisici di fine Ottocento come formati da particelle, denominate elettroni.