7. L'equazione di Schroedinger.


Se si considera l'equazione (6.5) che esprime una delle possibili funzioni d'onda associabili ad una particella vincolata a muoversi tra due barriere di potenziale

Eqn001.gif

e si deriva Ψn due volte rispetto a x, si ottiene

Eqn002.gif

Eqn003.gif

Dalla (6.7) si ricava

Eqn004.gif

sostituendo nella (7.1) si ha

Eqn005.gif

e ancora

Eqn006.gif

Introducendo il simbolo

Eqn007.gif

la (7.3) viene scritta

Eqn008.gif

Poiché l'uguaglianza (7.5) vale per ogni n, si può dire

Eqn009.gif

L'equazione differenziale alle derivate parziali (7.6) è detta equazione di Schroedinger del sistema fisico analizzato.

L'equazione di Schroedinger è fondamentale nella descrizione del comportamento della particelle subatomiche, detta Meccanica Quantistica. Si può dire che in questa teoria ha la stessa importanza che hanno avuto i principi di Newton nella fondazione della meccanica classica ritenuta sostanzialmente valida fino alla fine dell'ottocento.

Questa equazione è stata qui dedotta in una situazione piuttosto semplice, in quanto si è analizzato un sistema unidimensionale e privo di energia potenziale. In generale per un'onda tridimensionale Ψ(x,y,z,t) e in presenza di energia potenziale U(x,y,z) essa va generalizzata così

Eqn010.gif

Infine, per semplificare la notazione ma anche per generalizzarla a casi più complessi, si può introdurre il simbolo H, detto operatore hamiltoniano,

Eqn011.gif

Con l'uso dell'operatore H l'equazione di Schroedinger risulta

Eqn012.gif

In generale quindi per poter definire gli stati ammissibili di un sistema fisico si imposta e si cerca di risolvere l'equazione (7.9). La soluzione di tale equazione permette di determinare i valori Eqn013.gif, detti autovalori dell'operatore H, e le funzioni Ψn, dette autofunzioni o autostati di H.