9. Particella in una buca di potenziale a pareti finite.


Si consideri un campo unidimensionale il cui potenziale V è ovunque nullo tranne che nell'intervallo [0;L] in cui V ha valore costante e in cui l'energia potenziale di una particella risulta negativa con valore costante U0. Un intervallo di questo genere è detto buca di potenziale (unidimensionale) di profondità U0.

fig001.gif

Per la meccanica classica una particella situata nella buca di potenziale e con energia totale Eqn000.gif negativa (ma beninteso maggiore di U0) non può uscire dalla buca perché fuori di essa la sua energia cinetica K = Eqn000.gif-0 risulterebbe negativa.

fig002.gif

In tale campo la funzione d'onda della particella assumerà espressioni diverse nelle diverse zone del campo.

Dato che la funzione d'onda deve essere continua e derivabile in tutto il campo, nei punti di ascissa 0 e L devono coincidere i valori delle due funzioni e delle loro derivate.

Inoltre, poiché la trattazione quantistica deve tendere asintoticamente alla meccanica classica, per x→±∞ la funzione d'onda si deve annullare.

Per x=0 le due funzioni e le loro derivate devono essere uguali. Dunque

Eqn009.gif

Eqn010.gif

Anche per x=L le due funzioni e le loro derivate devono essere uguali. Dunque

Eqn011.gif

Dalle (9.6) e (9.8) si ha

Eqn012.gif

Usando le espressioni di c e kI nella (9.3) e (9.7) si ha

Eqn013.gif

Risolvendo questa equazione rispetto a Eqn000.gif per ogni valore di n si possono ottenere i valori dei livelli energetici all'interno della buca. Queste soluzioni non possono essere determinate con un metodo analitico ma possono essere approssimate a piacere con un metodo numerico scorrendo i valori di n cominciando da 1 e aumentando fintanto che le soluzioni risultano negative.

Si propone una funzione Javascript che calcoli i livelli energetici di un elettrone in una buca unidimensionale di larghezza e profondità assegnate usando il metodo di bisezione. Il codice JS è visibile usando la funzione 'mostra sorgente' del browser. La larghezza della buca va indicata in nanometri. Il potenziale all'interno della buca va indicata in modulo (viene comunque inteso come negativo) e in Volt. I livelli energetici calcolati sono espressi in elettronvolt (eV).