Si considerino due osservatori O e O' in moto relativo l'uno rispetto all'altro e sia V la velocità di O' rispetto ad O. Si assumano gli assi delle ascisse coincidenti con la direzione di V
O e O' sono forniti di cronometri da cui possono rilevare i tempi t e t' e di campioni I dell'unità di misura di lunghezza con cui possono rilevare le distanze x e x' di un punto da se stessi.
Al tempo t=0, quando l'osservatore O vede O' sovrapposto a se stesso, emette nella stessa direzione di V un lampo di luce che si propaga nello spazio con onde sferiche di velocità c.
Per O, dopo un tempo t, i punti del fronte d'onda sull'asse della ascisse distano
cioè
In modo del tutto analogo, per O', dopo un tempo t', i punti del fronte d'onda distano
cioè
Per qualunque λ reale, dalle (5.7) e (5.3) si ha
e per qualunque μ reale, dalle (5.8) e (5.4) si ha
Sommando membro a membro le (5.9) e (5.10) si ottiene
Sottraendo membro a membro la (5.9) dalla (5.10) si ottiene
Se si pone
le (5.11) e (5.12) diventano
e quindi
Esprimendo x e t in funzione di x' e t' dalle (5.15) si ottiene
La posizione di O' rispetto a se stesso è ovviamente x'=0. Dunque dalla prima delle (5.14) si ha che la posizione di O' rispetto a O è
da cui si deduce che
Sempre per la prima delle (5.14), all'istante t'=0, O' attribuisce all'unità di lunghezza I di O la misura
Per la prima delle (5.16), all'istante t=0, O attribuisce all'unità di lunghezza I di O' la misura
Per la simmetria delle rispettive situazioni i valori Δx e Δx' devono coincidere, quindi
e, più semplicemente,
Dalle (5.18) e (5.22) si possono ottenere i valori di a e b in funzione di V e c
che, sostituiti nella (5.14), permettono di ottenere
Queste relazioni tra le distanze e tempi misurati in due diversi sistemi inerziali, dedotte assumendo che in essi la velocità della luce sia identica, sono dette equazioni di Lorentz in quanto erano state ricavate dal fisico olandese H. A. Lorentz, premio Nobel 1902 per la Fisica, nei suoi studi sulle onde elettromagnetiche.
Solo le la velocità relativa V di due sistemi inerziali è trascurabile rispetto a quella della luce il rapporto tra V e c può essere considerato nullo riducendo le (5.24) a
Le trasformazioni (5.25), note come trasformazioni di Galileo, sono appunto quelle assunte come valide nella meccanica newtoniana. La seconda di esse afferma che il tempo è uguale per tutti gli osservatori inerziali, cioè che, secondo l'assunto metafisico di Newton, il tempo è assoluto, indipendente dall'osservatore.
Per le trasformazioni di Lorentz invece due osservatori inerziali diversi hanno valutazioni diverse del tempo a seconda della loro velocità relativa V. Quindi lo scorrere del tempo è diverso per osservatori diversi: il tempo è relativo all'osservatore.
Dividendo membro a membro le (5.25) si ottiene
che è la legge classica di composizione delle velocità.
Dividendo membro a membro le (5.26) si ottiene
che è la legge relativistica di composizione delle velocità.
Se nella (5.27) al posto di v si sostituisce c si ottiene v'=c: la velocità della luce è la stessa per tutti gli osservatori inerziali. Questa è una verifica tautologica: in effetti le trasformazioni di Lorentz sono state dedotte proprio a partire da questo presupposto.
In conclusione: per Einstein i controlli sperimentali di Michelson e Morley inducono ad assumere che, divergendo dalle convinzioni metafisiche di Newton, spazio e tempo non sono assoluti: l'unica grandezza meccanica assoluta in natura è la velocità c delle onde elettromagnetiche nel vuoto. Questa assunzione è l'unica coerente con i tre principi della Dinamica enunciati da Newton stesso.