Analisi matematica

Processo di carica

Si consideri nuovamente il seguente circuito:

si è detto che le armature del condensatore (=C) sono inizialmente scariche, quindi si ha:

q(0)=0

Questa informazione sarà fondamentale per risolvere l'equazione differenziale che si incontrerà, e prende il nome di condizione a contorno.

Ora per la seconda legge di Kirchhoff prima citata, si ha:

V-iR-q/C = 0

dove q/C rappresenta la d.d.p. ai capi di C.

N.B. Al posto di V si userà "f" per indicare il generatore di d.d.p., per evitare confusione con la V che indicherà la d.d.p. misurata ai capi delle armature del condensatore.

Questa è un'equazione differenziale in quanto mette in relazione una funzione (in questo caso q(t)) con una sua derivata (in questo caso i=dq/dt).

Per risolverla si può usare il metodo di separazione delle variabili che consiste nel cercare di tenere a un membro un differenziale e l'altro all'altro membro.Quindi:

Ora se è vera questa uguaglianza lo è anche quella dei suoi integrali, e risolvendo si ha:

Ora si può comprendere l'essenzialità di quella che abbiamo chiamato condizione a contorno, infatti grazie a quella informazione possiamo ottenere il valore di cost. e si conclude che:

RC=τ è la costante temporale del circuito e indica la "velocità" con cui il condensatore si carica: più τ è grande, più è lungo il tempo di carica.

Dall'equazione prima ottenuta q(t) è possibile ricavare il valore finale di q e anche i(t), che è la derivata prima:

Per capire meglio il ruolo di τ si può valutare i(τ) che risulta:

Così si capisce che la corrente decresce esponenzialmente, e che τ indica il tempo in cui la corrente si riduce a un "e-esimo" del suo valore iniziale. τ deve essere dimensionalmente un tempo perché la funzione esponenziale ammette come esponente solo numeri "puri", quindi essendo già presente "t", τ deve essere un tempo. Comunque si ottiene questo risultato anche facendo l'equazione dimensionale di RC.

Dall'equazione di q(t) è anche possibile ricavare V(t), che indica la differenza di potenziale tra le armature del condensatore. Per ottenere questa funzione basta dividere q per C, poiché V=q/C, e si ha:

Processo di carica

Si consideri nuovamente il seguente circuito:

ora all'istante t=0 le armature del condensatore hanno una carica q(0) = Q. Per la seconda legge di Kirchhoff si ha:

iR+q/C = 0 ,

in quanto non in questo caso non c'è una f che funge da generatore, ma è il condensatore stesso che svolge questo ruolo, essendo già carico. Anche questa é un'equazione differenziale, e il metodo per risolverla è lo stesso visto prima, quindi si ha:

ora, come nel caso precedente, si possono ricavare le funzioni i(t) e V(t):

Inoltre è interessante notare che anche in questo caso i(t) decresce esponenzialmente.

Si ha un grafico solo perché, come si è visto nelle funzioni precedenti, se si fa il rapporto tra i(t) nel processo di carica e i(t) nel processo di scarica si ottiene -1, che indica come il modulo delle due correnti sia il medesimo (ecco spiegato il grafico unico), e il- indica che hanno due direzioni opposte.