Su una superficie conduttrice piana infinita Σ posta nel vuoto c'è una densità superficiale di carica costante . Calcolare il flusso di campo elettrico:
Su un filo conduttore rettilineo e di lunghezza infinita posto nel vuoto c'è una densità lineare di carica costante . Calcolare il flusso di campo elettrico:
Si può ragionare in due modi sostanzialmente equivalenti.
La carica Q contenuta dentro al cubo è data dal prodotto della densità superficiale di carica su Σ per la superficie S intercettata su Σ dal cubo: . Per il teorema di Gauss il flusso di campo elettrico uscente dalla superficie cubica è
Il campo elettrico nei dintorni di Σ è costante, perpendicolare a Σ, uscente da essa e di modulo .
Attraverso alle facce perpendicolari a Σ non c'è flusso, mentre attraverso ad ognuna delle due facce parallele il flusso di campo elettrico vale .
Il flusso totale è quindi
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La normale al quadrato forma un angolo di 60° con il vettore di campo elettrico costante. Il flusso di E è dato dal prodotto scalare del campo per la superficie quadrata, cioè dal prodotto dei moduli di campo e area del quadrato per il coseno dell'angolo tra il vettore di campo e la normale alla superficie. In definitiva:
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Anche qui, come nel caso del cubo, si può procedere in due modi.
La carica Q contenuta nella sfera è data dal prodotto della densità superficiale di carica su Σ per la superficie S intercettata su Σ dalla sfera: . Per il teorema di Gauss il flusso di campo elettrico uscente dalla superficie sferica è
Il flusso di campo elettrico attraverso ad ognuna delle semisuperfici sferiche delimitate da Σ è identico a quello attraverso ad un cerchio di ugual raggio R. Dunque
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Anche qui, come nei casi precedenti, si può procedere in due modi.
Con riferimento alla figura che rappresenta una sezione del sistema con Σ rappresentato in rosso, si osserva che la sfera intercetta su Σ un cerchio di raggio e quindi di area .
Dunque la carica contenuta nella sfera è e, per il teorema di Gauss,
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La zona di superficie sferica compresa tra Σ e la superficie piana ad essa simmetrica rispetto al centro della sfera (rappresentata in blu) non dà nessun contributo al flusso in quanto il flusso entrante e quello uscente sono uguali in modulo. Il flusso totale è dato dalla somma dei flussi attraverso alle calotte esterne alle due superfici e coincide con quello attraverso alle basi della calotte stesse. Queste basi sono cerchi di raggio e quindi di area . Dunque il flusso totale è
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Il campo E in un punto P nei dintorni del filo (rappresentato in pianta nella prima figura come un cerchietto nell'origine degli assi) è radiale con modulo inversamente proporzionale alla distanza d dal filo secondo la legge .
Indicando con θ l'angolo tra il vettore E e la normale al quadrato (rappresentato in pianta nella prima figura), la distanza di una striscia dS di quadrato, parallela al filo, di lunghezza L e larghezza dx, risulta .
Si ha inoltre
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Il flusso di campo elettrico attraverso una striscia risulta quindi
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Il flusso totale attraverso alla superficie quadrata si ottiene integrando:
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Per le facce perpendicolari al filo non c'è flusso di campo elettrico. Per ognuna delle quattro facce parallele ad esso il flusso è uguale a quello calcolato al punto precedente. Quindi
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Tutto il calcolo risulterebbe tuttavia molto più semplice ed immediato partendo dal secondo quesito e deducendo quindi la risposta al primo.
Per il teorema di Gauss il flusso attraverso alle pareti del cubo è dato dal rapporto tra la carica interna e la permittività:
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Per trovare il flusso su una sola delle quattro facce del cubo, data la simmetria del sistema, basta dividere per quattro.