Due cariche identiche Q sono fisse in due punti A e B distanti d l'una dall'altra. Una terza carica identica si muove sull'asse del segmento AB.
Una sfera conduttrice di centro O e di raggio R isolata, nel vuoto, ha carica Q.
Il metodo più immediato per risolvere questo quesito si basa sul calcolo della variazione dell'energia potenziale delle terza carica dall'iniziale distanza infinita rispetto alle cariche in A e B fino alla sua posizione finale in C.
L'energia potenziale iniziale Ui è nulla. L'energia potenziale finale Uf è la somma delle sue energie potenziali rispetto alle cariche in A e B. Indicando con K la costante di Coulomb
Si ha quindi
Il lavoro del campo elettrico sulla terza carica è opposto alla variazione della sua energia potenziale, dunque il lavoro di una forza esterna, opposto a quello del campo, coincide con la variazione dell'energia potenziale. In definitiva
Un metodo alternativo, ma più complicato e quindi sconsigliabile, per risolvere lo stesso problema si basa sulla considerazione che il lavoro compiuto da una forza esterna per portare la terza carica dall'infinito al punto C coincide con il lavoro compiuto dal campo per portare la stessa carica da C all'infinito.
Riferendosi alla figura, il campo della carica Q in A esercita sulla carica mobile la forza F
Di questa forza è efficace solo la componente y, in quanto la componente x è equilibrata dall'analoga componente della forza dovuta alla carica in B.
La carica in B ha uguali effetti, quindi la forza totale risulta
Il suo lavoro è dato dall'integrale
Per ottenere l'energia totale del sistema bisogna sommare all'energia potenziale della carica Q in C l'energia della carica in B rispetto a quella in A. Questa energia può essere dedotta ipotizzando di avere inizialmente la sola carica in A e di dover spingere una carica dall'infinito al punto B, distante d da A. In definitiva
La densità di energia in un punto del vuoto in cui il campo elettrico vale E risulta
L'energia dU contenuta nel volume dV di un guscio sferico di raggio r e spessore dr si ottiene moltiplicando la densità di energia dovuta al campo coulombiano a distanza r dal centro O della sfera carica per il volume del guscio sferico
Il risultato ottenuto è utile per calcolare l'energia contenuta in volumi delimitati da superfici sferiche con centro in O. In particolare, per il volume delimitato da superfici sferiche di raggi R e 2R basta integrare tra questi valori
Con procedimento analogo si integra da R a infinito
E' interessante osservare che, in quest'ultimo caso, l'energia è doppia di quella precedentemente calcolata: l'energia totale del campo considerato si suddivide in parti uguali nei volumi da R a 2R e da 2R all'infinito.
Allo stesso risultato si può pervenire direttamente considerando la sfera come un condensatore di capacità
Ricordando che l'energia immagazzinata in un condensatore può essere espressa come
si ottiene