Quesito 1

Due gocce sferiche di mercurio hanno lo stesso raggio R e la stessa carica Q. Le due gocce, inizialmente a distanza infinita l'una dall'altra, sono avvicinate fino a fondersi in un'unica sferetta. .

1. Esprimere in funzione di Q e R la densità di carica superficiale sulla sferetta risultante.
2. Esprimere in funzione di Q e R la capacità della sferetta risultante.
3. Esprimere in funzione di Q e R il lavoro che una forza esterna deve compiere per ottenere la fusione delle sferette.

Svolgimento

Quesito 2

Dopo aver caricato due condensatori di capacità C₁=5μF e C₂=4μF alle d.d.p. rispettive di V₁=300V e V₂=250V, si collegano tra loro, rispettivamente, le armature positive e le armature negative e viene posto in parallelo ai primi due un terzo condensatore, inizialmente scarico, di capacità C₃=1μF.

1. Determinare le cariche presenti alla fine su ciascun condensatore.
2. Calcolare la variazione di energia elettrostatica nel processo.

Svolgimento

Svolgimento del quesito 1

1. Il volume di una sfera di raggio R è

   Per il raggio R₂ della sferetta risultante, che ha volume doppio di quello delle singole gocce, si ha qundi

   

   La superficie di una sfera di raggio R è

   Quindi la superficie della sferetta risultante è

   Per il principio di conservazione della carica, la sfera risultante ha carica 2Q. Il Mercurio è un metallo conduttore: la carica si distribuisce uniformemente sulla superficie sferica. La densità superficiale di carica è quindi

   

2. La capacità di una sfera conduttrice di raggio R, nel vuoto, è

   Dunque la capacità di una sfera conduttrice di raggio R₂ risulta

   

3. L'energia del campo elettrico di ognuna delle due gocce iniziali è quindi l'energia iniziale totale del sistema è

   L'energia finale del sistema risulta

   La variazione di energia del sistema risulta

   Questa variazione di energia coincide con il lavoro che una forza esterna deve compiere contro il campo elettrico per ottenere la fusione delle sferette.

Svolgimento del quesito 2

1. La carica totale distribuita inizialmente sui primi due condensatori è

   

   Poi i tre condensatori sono collegati in parallelo formando un sistema (praticamente un unico condensatore) di capacità totale

   e la differenza di potenziale tra le armature dei tre condensatori è

   

   Si possono ora calcolare le tre cariche

   

2. L'energia elettrostatica iniziale è

   

   L'energia elettrostatica finale è

   

   oppure

   

   Si ha quindi una diminuzione di energia