Costruzione dell'ellisse dati gli assi.
Area.
Segmento ellittico.
Perimetro dell'ellisse

Appunti per i Licei Scientifici
(a cura di Roberto Bigoni)


1. Equazioni parametriche dell'ellisse

Dall'equazione canonica dell'ellisse è immediato dedurre le espressioni delle coordinate di un punto P dell'ellisse in funzione di una variabile comune rappresentata dall'angolo α che il vettore OP (dove O è l'origine del sistema canonico) forma con l'asse delle ascisse.

fig01.gif

Infatti, posto

Eqn002.gif

elevando al quadrato entrambi i membri e sommando membro a membro si ottiene l'equazione canonica

Eqn003.gif

Esprimendo x e y in funzione di α

Eqn004.gif

si ottengono le equazioni parametriche dell'ellisse.

 


2. Costruzione dell'ellisse

Le equazioni parametriche di x e y si possono interpretare rispettivamente come ascissa e ordinata dei due punti A e B intercettati su due circonferenze centrate sull'origine O, una di raggio OA di misura a e l'altra di raggio OB di misura b, dalla semiretta uscente dall'origine O che forma un angolo α con l'asse delle ascisse.

fig05.gif

Il punto E della figura, che ha ascissa uguale a quella di A e ordinata uguale a quella di B, è un punto dell'ellisse di semiassi a e b.

 

 


3. Area dell'ellisse

Confrontando le ordinate yE e yA dei punti E e A della costruzione proposta, da

Eqn006.gif

si ottiene

Eqn007.gif

cioè l'ordinata di un punto E sull'ellisse di semiassi a e b è b/a dell'ordinata del punto A di uguale ascissa sulla circonferenza di centro coincidente con quello dell'ellisse e di raggio a.

Se, considerando per semplicità solo i punti di ordinata positiva, per ogni punto E e ogni punto A, si costruiscono rettangoli di base comune dx e altezze rispettive yE e yA, i primi rettangoli hanno area b/a di quella dei secondi.

fig08.gif

Di conseguenza la somma di tutti i primi rettangoli è b/a della somma di tutti i secondi. Ma per dx tendenzialmente nulli, la prima somma è l'area di mezza ellisse e la seconda somma è l'area di mezzo cerchio. In conclusione, l'area di mezza ellisse è b/a dell'area di mezzo cerchio e, ovviamente, l'area dell'ellisse è b/a di quella del cerchio.

Eqn008.gif

 


4. Area del segmento ellittico

fig08.gif

Una retta parallela all'asse delle ordinate di equazione Eqn010.gif delimita la figura EE'V (colorata in viola nella figura) che viene denominata segmento ellittico retto. L'area ε di questa figura risulta b/a dell'area η del segmento circolare AA'V. A sua volta l'area η può essere ottenuta sottraendo dall'area σ del settore circolare AOA'V l'area τ del triangolo AOA'

L'area σ sta all'area del cerchio come il suo angolo al centro AOA' sta all'angolo giro, cioè come la sua metà α=AOV sta all'angolo piatto.

Eqn011.gif

L'area τ risulta

Eqn012.gif

Quindi l'area η è

Eqn013.gif

e l'area ε è

Eqn014.gif

Volendo esprimere quest'area in funzione di h si ha

Eqn015.gif

Esempio.

Data un'ellisse di semiassi a=4 e b=3, le aree dei segmenti ellittici che si ottengono tagliandola parallelamente all'asse minore ad una distanza h=2 dal centro misurano

Eqn016.gif


5. Perimetro dell'ellisse

Si dimostra che il perimetro di un'ellisse di semiasse maggiore a e eccentricità e è

Eqn020.gif

La seguente applicazione Javascript permette di approssimare il perimetro dell'ellisse.

 


ultima revisione: 19/09/2018