.Appunti per i Licei Scientifici
(a cura di Roberto Bigoni)
Una parabola, nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine nel suo
vertice e asse delle ascisse coincidente con il suo asse di simmetria, è descritta
dall'equazione .
Questa equazione può essere interpretata geometricamente come uguaglianza tra l'area di un quadrato di lato y e un rettangolo di lati 2p e x. Questa interpretazione geometrica dell'equazione suggerisce una costruzione della parabola che coincide con quella esposta da Apollonio nel suo trattato sulle coniche.
Impostato un sistema di assi cartesiano ortogonali di origine O, si ponga sulla semiretta delle ascisse negative un punto mobile A, si indichi con y la misura del segmento OA e si costruisca nel terzo quadrante il quadrato q di lato OA. Si fissi poi sulla semiretta delle ordinate positive il punto P di ordinata 2p e si costruisca nel primo quadrante il rettangolo r di base OP equivalente a q.
La costruzione di r si può ottenere sfruttando il secondo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo con lati uguali alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Si traccino quindi il segmento PA e la perpendicolare da A a questo segmento, che interseca l'asse delle ordinate nel punto Q. Il rettangolo di lati OP e OQ è equivalente al quadrato q. Scegliendo quindi sulla semiretta delle ascisse positive il segmento OR congruente con OQ, il rettangolo di lati OP e OR risulta equivalente al quadrato q ed è quindi il rettangolo r cercato.
applet Cabrijava
il quadrato di lato OA è equivalente al rettangolo di lati OP e OR
Con centro in R si tracci la circonferenza di raggio di misura y: i
punti M e N di intersezione di questa circonferenza con la perpendicolare a
OR per R sono punti della parabola con vertice in O, asse OR
e parametro 2p. Usando la funzione Luogo di Cabri géomètre,
cliccare su M e su A e poi ancora su N e su A.
applet Cabrijava
per animare la figura, cliccare doppio su di essa, attivare la molla, applicarla al punto
A e cliccare ancora doppio.
