Funzioni polinomie


Binomi di primo grado

Un polinomio di primo grado, cioè un binomio di forma

figura 1

è una funzione crescente se se a è positivo, decrescente se a è negativo.

Dunque, individuato l'unico zero del binomio

figura 2

il binomio è positivo a destra dello zero se è crescente (a>0), è positivo a sinistra dello zero se è decrescente (a<0).

In simboli

figura 3

figura 4

Esempi.

figura 5

figura 6

 

 


Trinomi di secondo grado.

Un polinomio di secondo grado, cioè un trinomio di forma

figura 7

può essere espresso nel seguente modo

image099.gif

con

discriminante

Δ è detto discriminante del trinomio.

Un esempio con WolframAlpha:

fig001.png

 


Polinomi di grado superiore al secondo.

Per polinomi di grado superiore al secondo lo studio del segno è praticabile agevolmente quando si riesce a scomporre il polinomio in prodotto di potenze di fattori di primo o secondo grado.

Ricordando il principio già applicato per i trinomi di secondo grado, cioè che dall'analisi del segno di ogni singolo fattore è possibile dedurre il segno del loro prodotto, cioè del polinomio.

Operativamente è sufficiente analizzare solo il segno dei fattori di segno variabile, trascurando, perché ininfluenti, i fattori di segno costantemente positivo.

Esempio:

figura 18

Poiché P(4)=0, il polinomio è divisibile per x-4.
Si ottiene

figura 19

Il fattore di terzo grado è scomponibile con raccoglimento a gruppi. Si ottiene

figura 20

Il fattore di secondo grado è costantemente positivo, dunque non influisce sul segno del prodotto. È quindi sufficiente studiare il segno del prodotto dei fattori di primo grado. Tale prodotto equivale ad un trinomio di primo coefficiente positivo (2) e di zeri

figura 21

Dunque il polinomio studiato è positivo in

figura 22

 

La stessa disequazione con WolframAlpha:

fig002.png