Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE
Indirizzi: LI02, EA02 - SCIENTIFICO
LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE
LI15 - SCIENTIFICO - SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO

(Testo valevole anche per le corrispondenti sperimentazioni internazionali e quadriennali)

 

Tema di: MATEMATICA e FISICA

 

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti.


PROBLEMA 1


 

Si considerino le seguenti funzioni:

Eqn001.gif

svolgimento

 


PROBLEMA 2


Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m).
Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla.

fig002.png

All'interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico Eqn006.gif.
Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall'asse di simmetria del condensatore, l'intensità di Eqn006.gif, espressa in tesla (T), varia secondo la legge
Eqn007.gif
dove a e k sono costanti positive e t è il tempo trascorso dall'istante iniziale, espresso in secondi (s).

svolgimento

 


QUESTIONARIO


 

  1. Una data funzione è esprimibile nella forma Eqn016.gif, dove d ∈ ℝ e p(x) è un polinomio.
    Il grafico di f interseca l'asse x nei punti di ascisse 0 e 12/5 ed ha come asintoti le rette di equazione x = 3, x = -3 e y = 5.
    Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f.

    svolgimento

  2. È assegnata la funzione

    Eqn017.gif

    Provare che esiste un solo x0 ∈ ℝ tale che g(x0) = 0. Determinare inoltre il valore di

    Eqn018.gif

    svolgimento

  3. Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

    svolgimento

  4. Dati i punti A(2,0,-1) e B(-2,2,1), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che Eqn019.gif, è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana.
    Verificare che il punto T(-10,8,7) appartiene a S e determinare l'equazione del piano tangente in T a S.

    svolgimento

  5. Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6.

    svolgimento

  6.  

    Una spira di rame, di resistenza R = 4,0 mΩ, racchiude un'area di 30 cm2 ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.
    Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

    1. a) da 0,0 ms a 3,0 ms;
    2. b) da 3,0 ms a 5,0 ms;
    3. c) da 5,0 ms a 10 ms.
    fig003.png

    svolgimento

  7. In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell'asse x di un sistema di riferimento ad esso solidale.
    All'istante iniziale, la particella si trova nell'origine e in un intervallo di tempo di 2,0 ns percorre una distanza di 25 cm.
    Una navicella passa con velocità v = 0,80c lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella.
    Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella?

    svolgimento

  8. Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo Eqn010.gif = 1,00 mT.
    Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante Δx = 38,1 cm, ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r = 10,5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l'angolo che esso forma con Eqn006.gif .

    svolgimento

COSTANTI FISICHE
carica elementare e 1,602·10-19 C
massa del protone mp 1,673·10-27 kg
velocità della luce c 2,998·108 m/s

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Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l'uso di calcolatrici scientifiche e/o grafiche purché non siano dotate di capacità di calcolo simbolico (O.M. n. 257 Art. 18 comma 8).
È consentito l'uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.
Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.