Problema 1

Quesito 1

La derivata prima di Φ(x) è

Il fattore esponenziale è sempre positivo, quindi Φ(x) è positiva per x<1, negativa per x>1, nulla per x=1, in cui Φ(x) ammette un massimo assoluto.

La derivata seconda di Φ(x) è

Φ''(x) è negativa per x<2, positiva per x>2, nulla per x=2. Dato che per x=2 la derivata prima non è nulla, per tale valore il grafico di Φ(x) ammette un flesso obliquo.

Quesito 2

Deve essere

Si ha quindi

• f è continua su tutto R, positiva per argomenti positivi, negativa per argomenti negativi. Il grafico passa per l'origine. Per x→-∞ f diverge negativamente, per x→∞ f tende a 0: l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale.
• In base ai risultati del quesito 1, f cresce per x<1, cala per x>1, ha un massimo assoluto per x=1: M(1;1). La concavità è negativa per x<2, positiva per x>2, nulla per x=2: P(2;2/e).

• Grafico

  

Quesito 3

La forza forma sempre un angolo nullo con lo spostamento, quindi il prodotto scalare è espresso dal prodotto dei moduli. Il lavoro richiesto si ottiene dall'integrale

Quesito 4

• Nel quesito precedente si è ottenuto

  

  Per ottenere l'espressione della φ(x) per argomenti non negativi basterà dividere la f(x) per e

  

• La probabilità chiesta è data dall'integrale

  

• La devianza della distribuzione è data dalla differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media