Quesiti

Quesito 1

Indicando con P(A|A) la probabilità condizionata che un titolo aumenti dopo essere aumentato il giorno prima, con P(C|A) la probabilità condizionata che un titolo cali dopo essere aumentato il giorno prima, e con P(C|C) e P(A|C) gli altri casi analoghi si ha la seguente tabella

La probabilità che dopodomani il titolo aumenti è data dalla probabilità totale che

• o il titolo domani aumenti e aumenti anche il giorno dopo: P(A|A)·P(A|A)
• o il titolo domani cali e torni ad aumentare il giorno dopo: P(C|A)·P(A|C).

In definitiva la probabilità richiesta è

Quesito 2

Il quadrato è sottoposto ad una rotazione di matrice

che trasforma il vettore B nel vettore B'

Supponendo ovviamente il quadrato rigido, non solo il centro, ma tutti i punti del quadrato sono sottoposti, dopo la rotazione, alla traslazione di vettore B'. La rototraslazione trasforma il vettore A nel vettore A''

Quesito 3

La serie è assolutamente convergente. Infatti si tratta di una serie a termini alternati di tipo in cui u_i è sempre positivo, u_i+1 ≤ u_i e u_i→0 per i→∞.

La serie proposta si ottiene dallo sviluppo in serie di McLaurin dell'arcotangente circolare

per x=1: converge quindi a π/4 ed è nota come serie di Leibniz

Quesito 4

Scrivendo l'equazione nella forma e graficando separatamente i due membri si osserva che i due grafici si incontrano in un unico punto del primo quadrante di ascissa maggiore di 1

Applicando, ad esempio il metodo delle tangenti, si ottiene la definizione ricorsiva di una successione che converge alla soluzione dell'equazione proposta.

Usando una calcolatrice tascabile si ottengono i seguenti valori

Una possibile implementazione in Javascript della procedura di calcolo della soluzione per qualunque k positivo è la seguente

function Soluzione(k,eps)
{
  k = parseFloat(k);
  eps = parseFloat(eps);
  var z1;
  var z2 = 1;
  do
    {
      z1 = z2;
      z2 = z2-(Math.exp(z2)*Math.log(z2)-k)/(Math.exp(z2)*(Math.log(z2)+1/z2));
    } while (Math.abs(z2-z1)>eps)     
  return z2;
}

Quesito 5

L'angolo al centro ACB che insiste sul lato AB del dodecagono regolare inscritto in una circonferenza misura π/6; indicando con r la misura del raggio della circonferenza circoscritta, r è anche la misura dei lati obliqui del triangolo isoscele ABC, la cui area è quindi

L'area del settore circolare ABC è 1/12 dell'area del cerchio. Il rapporto tra l'area del cerchio e quella del dodecagono inscritto è uguale al rapporto tra l'area del settore e l'area del triangolo, quindi

Quesito 6

Scrivendo l'equazione assegnata nella forma equivalente e graficando separatamente le funzioni a primo e a secondo membro, si ottengono la nota curva logaritmica e l'iperbole equilatera di asintoti x=1 e y=1. L'iperbole interseca la curva logaritmica in un punto compreso tra 0 e 1 con ordinata negativa e in un punto di ascissa maggiore di 1 e ordinata maggiore di 1.

Quesito 7

La funzione ha una singolarità per x=0 ed è una funzione pari, quindi il suo grafico nel piano Oxy è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e se ne può capire l'andamento limitandosi a considerare le ascisse positive. Poiché la funzione seno assume valori solo nell'intervallo [-1;1] i valori di f(x) sono sempre compresi nell'intervallo [-x,x]. In particolare, per il teorema del confronto, per x→0, f(x) →0.

Questa conclusione può essere ulteriormente corroborata operando la sostituzione di variabile t = 1/x

La singolarità per x=0 è una singolarità eliminabile.

Si ha anche

Dato che il seno è sempre minore o uguale all'arco, la f(x) è sempre minore di 1 e non ha un massimo assoluto.

Il grafico di f(x) risulta tangente a una delle bisettrici dei quadranti quando

L'ultima tangenza si ha per x=2/π la tangenza immediatamente precedente si ha per

Il minimo assoluto è quello di ascissa più prossima a x_T e può essere individuato azzerando la derivata prima di f(x)

Per x≠0 si ottiene

Approssimando la soluzione dell'equazione in t con un metodo numerico si ottiene

In definitiva, il codominio della funzione risulta [f_min ; 1[.

Quesito 8

Ricorrendo alla sostituzione di variabile , valida nel dominio di integrazione, si ottiene

e l'equazione assegnata può essere scritta

Una primitiva della funzione integranda è l'arcotangente, quindi

Quesito 9

Una retta di equazione y=mx+p è un asintoto della funzione f(x) in un intorno di ∞ se

Se m=0, l'asintoto si dice orizzontale, altrimenti si dice obliquo.

Una retta di equazione x=k si dice asintoto verticale di f(x) se per x=k la funzione ha una singolarità di seconda specie.

La funzione f(x) assegnata è dispari: il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

f(x) ha due singolarità di seconda specie per x = ±1/2 e quindi due asintoti verticali.

Per x→∞ il fattore esponenziale converge a 1, mentre l'altro diverge, dunque la funzione diverge e si può vedere se ammette asintoti obliqui. Perchè questi possano esistere bisogna (ma non basta) che converga il limite . Si ha

Per la determinazione del termine noto della retta conviene diversificare l'espressione della f(x) per argomenti positivi o negativi. Per argomenti positivi si ha

Applicando il teorema di De L'Hôpital si ottiene .

In modo analogo, per x→-∞ si ottiene .

In definitiva la f(x) ammette gli asintoti obliqui

Quesito 10

L'integrale indefinito della funzione y(x) si può ottenere integrando ripetutamente per parti

L'area richiesta è data da