Per ognuno dei lati di un decagono, tracciando i segmenti dagli estremi al centro, si ottiene un triangolo aureo di primo tipo, cioè un triangolo isoscele in cui l'angolo al vertice misura π/5 (36°) e gli angoli alla base misurano il doppio.
In questi triangoli aurei AC:AB=AB:(AC-AB), cioè la base è la sezione aurea del lato; il rapporto tra base e lato vale quindi
Detto L10 il lato del decagono inscritto in una circonferenza di raggio r si ha quindi L10=rφ.
Si ha inoltre
Uguagliando le due espressioni di L10 si ottiene
Limitandosi alla considerazione di curve γ nel piano Oxy, di equazione esplicita y=y(x), la retta r di equazione y=mx+q si dice tangente a γ nel suo punto P(xP;yP) se (P∈γ)∧(P∈r)∧(m=y'(xP)).
Tutti i punti di ascissa x tale che senx=1 appartengono oltre che alla curva anche alla retta y=x; in tutti questi punti cosx=0 e la derivata y'=senx+x cosx è uguale al coefficiente angolare della retta; dunque in tutti questi punti si ha tangenza.
Analogamente tutti i punti di ascissa x tale che senx=-1 appartengono sia alla curva sia alla retta y=-x; in tutti questi punti cosx=0 e la derivata y'=senx+x cosx è uguale al coefficiente angolare della retta; dunque in tutti questi punti si ha tangenza.
Se due punti P(x;y) e P'(x';y') sono simmetrici rispetto ad una retta r parallela alla bisettrice b del I° quadrante e di equazione y=x+q, essi possono essere interpretati come i vertici opposti di un quadrato il cui centro C giace su r.
Per l'apparenenza di 
a r si ha
Dall'uguaglianza delle misure dei lati del quadrato si ha inoltre
Unendo i due risultati
Le equazioni ottenute corrispondono quindi ad una simmetria rispetto ad una retta parallela a b; in particolare, per q=0, si hanno le equazioni di una simmetria rispetto a b. Indicando con σ quest'ultima simmetria e con φ qualunque altra, applicando ad un punto P(x;y) prima σ, poi φ si ha:
cioè una traslazione. Quella del testo si ottiene per q=-√5
Applicando ad un punto P(x;y) prima φ, poi σ si ha:
Usando il sistema c.g.s. il volume della lattina è V=400cm3. Indicando con S la superficie totale si ha
Azzerando la derivata prima si ha
valore che rende positiva la derivata seconda. Per questo valore la superficie totale ha un minimo
corrispondente ad un raggio di base r e ad un'altezza h
Il numero di Nepero e può essere definito in molti modi. Conoscendo le funzioni iperboliche, il più semplice e diretto potrebbe essere
Può essere definito com il numero reale > 1 tale che l'integrale della funzione f(x)=1/x da 1 a questo numero valga 1.
Dallo sviluppo in serie di MacLaurin dell'esponenziale naturale si ottiene anche
e può anche essere definito come
Il numero e è la base della funzione esponenziale e dei logaritmi naturali. Come base di funzioni esponenziali reali o complesse appare in molti problemi di matematica (equazioni differenziali, funzioni d'onda,...). Notissime sono le formule di Eulero per seno e coseno circolari. Appare in quella che da molti è definita "la più bella formula matematica": eiπ+1=0
Un modo per approssimarne a piacere il valore può basarsi sullo sviluppo in serie
Si sommano i reciproci dei fattoriali fino a che non si ottiene un addendo minore della precisione desiderata, come nella seguente funzione Javascript.
function calcoloNepero(eps)
{
lettura = eps;
eps = Math.abs(parseFloat(eps));
if (isNaN(eps))
{
alert(lettura+": input sbagliato");
return 0;
}
if (eps>0.001)
{
document.nepero.epsilon.value = 0.001;
eps=0.001;
}
ris=1;
i=1;
fatt=1;
rec=1;
while (rec>eps)
{
fatt *=i;
rec = 1/fatt;
ris += rec;
i++;
}
return ris;
}
Le equazioni di una omotetia di rapporto |k| sono in generale
Applicando questa trasformazione alla retta y=2x+1 si ottiene
Perché la retta trasformata coincida con la retta y=2x-4 bisogna che k sia uguale a -4.
Definizione ricorsiva: per numeri naturali n non negativi, se (n=0)∨(n=1), n!=1; altrimenti n!=n(n-1)!
n! rappresenta il numero delle permutazioni semplici di n elementi.
Le permutazioni di due elementi a e b con a ripetuto n-k volte e b ripetuto k volte sono
Queste permutazioni rappresentano il numero delle volte in cui compare il prodotto an-kbk nello sviluppo della potenza n-esima del binomio a+b; coincidono quindi con i coefficienti dello sviluppo di tale potenza e sono detti coefficienti binomiali spesso indicati con
Ricavando dalla prima equazione l'espressione di et in funzione di x e sostituendo tale espressione nella seconda equazione si ottiene l'espressione di y in funzione di x:
La derivata di questa funzione è
che per x=3 vale -1. L'equazione della
tangente nel punto indicato è quindi
10 si può ottenere da (4,6), (5,5), (6,4), cioè in 3 modi su 36 possibili esiti. Dunque la probabilità chiesta è
La seconda probabilità chiesta si calcola applicando il teorema delle prove ripetute:
Per calcolare la terza probabilità conviene calcolare la probabilità di 0 esiti su 6 lanci, la probabilità di 1 esito su sei lanci e poi sottrarre da 1 la somma delle due probabilità.
Si. Indicando con y l'età media degli ultrasessantenni e con x l'età media degli infrasessantenni si ha
Ovviamente x>0, quindi y<75