L'insieme di Mandelbrot

(a cura di Roberto Bigoni)

Dato un numero complesso c, si può costruire la successione formata dai numeri che, dato z₀ = 0, si ottengono aggiungendo c al quadrato del termine precedente. Diremo che c è la radice della successione M_c.

L'insieme delle radici c per le quali M_c non diverge, cioè tali che tutti i termini z_i di M_c hanno valore assoluto finito, è detto insieme di Mandelbrot (IdM), dal nome del matematico Benoit B. Mandelbrot.

Si può dimostrare che, se nello sviluppo di una successione M_c compare un termine z_i con valore assoluto ≥ 2, la successione diverge, quindi la radice c non appartiene a IdM. Questa constatazione implica che, nel piano complesso, tutti i numeri di IdM sono interni a un cerchio di raggio 2 centrato sull'origine. Possiamo indicare questo cerchio con il nome di Cerchio di Mandelbrot (CdM).

Poiché, data una radice c, è materialmente impossibile calcolare tutti i termini z_i della successione M_c, se una radice c è rappresentata nel piano complesso da un punto interno a CdM, è impossibile essere certi che c appartenga a IdM. È tuttavia possibile escludere che vi appartenga se nello sviluppo della successione M_c si ottiene abbastanza presto un termine z_i di valore assoluto ≥ 2.

Quindi per ottenere una rappresentazione grafica abbastanza affidabile di IdM si può procedere nel seguente modo.

Si associa ad ogni radice c l'indice del primo dei termini z_i di M_c di valore assoluto ≥ 2. Questo parametro è detto permanenza.
Si stabilisce la permanenza minima che una radice c deve avere per non essere esclusa dalla rappresentazione di IdM.
Nel piano complesso, all'interno del quadrato di vertici 2+2i, -2+2i, -2-2i, 2-2i si sceglie una matrice opportunamente fitta di punti equidistanti e si rappresenta ognuno di questi punti con un pixel di una finestra grafica.
Si calcola la permanenza di ognuno di questi punti. Se la permanenza è minore della minima stabilita, il punto non appartiene a IdM e viene rappresentato da un pixel nero; altrimenti con buona probabilità il punto appartiene a IdM e viene rappresentato da un pixel bianco.
La rappresentazione è tanto migliore quanto più è alta la permanenza minima prestabilita.
Si possono ottenere rappresentazioni più fantasmagoriche assegnando colori diversi ad ogni punto a seconda della sua permanenza, riservando il bianco alla rappresentazione dei punti probabili elementi di IdM.

Le rappresentazioni così ottenute evidenziano proprietà di IdM assolutamente inedite rispetto a quelle classiche.

La frontiera di IdM non è una linea continua, interrotta al più da qualche singolarità, come quelle studiate dalla geometria classica (poligoni, circonferenze, coniche, curve algebriche, curve trigonometriche, esponenziali e logaritmiche, ecc. ). Essa infatti ha una dimensione non intera : in geometria classica le linee hanno dimensione 1, le aree dimensione 2, i volumi dimensione 3, ecc. ; questo contorno ha dimensione compresa tra 1 e 2;
IdM è dotato di omotetia interna: per quanto si ingrandiscano i suoi dettagli si ritrovano figure di identica conformazione; dentro a IdM ci sono tanti minuscoli IdM, dentro ognuno dei quali altri più minuscoli IdM, e così via senza fine.

Mandelbrot chiamò frattali gli insiemi che godono di queste proprietà.

La seguente applicazione JS permette di ottenere rappresentazioni di IdM. Cliccando su una di esse si può selezionare un quadrato e quindi cliccando sul bottone + ottenerne l'ingrandomento.

ultima revisione: 30/05/2016