Appunti per i Licei Scientifici
(a cura di Roberto Bigoni)
Dato un insieme A una operazione binaria interna è una legge che ad ogni coppia del prodotto cartesiano AxA fa corrispondere univocamente un elemento di A.
Un insieme A e un'operazione interna * definita su di esso formano una struttura algebrica (A;*).
Una struttura (A;*) è associativa se per ogni terna di elementi a, b, c di A
(a*b)*c=a*(b*c).
Se una struttura (A;*) possiede un elemento z tale, che per ogni elemento a di A, z*a=a*z=a, z è detto elemento neutro.
In questo caso si dice che la struttura è un monoide.
Se in un monoide associativo per ogni elemento a ne esiste un altro b tale che a*b=b*a=z si dice che a è invertibile e che b è l'inverso (o simmetrico) di a (e, ovviamente, a è inverso di b) rispetto all'operazione.
Un monoide associativo in cui ogni elemento è invertibile è detto gruppo.
Una struttura (A;*) è commutativa se per ogni coppia di elementi a,b di A a*b=b*a.
Se sull'insieme A sono definite contemporaneamente due operazioni interne + e * (dette in generale Somma e Moltiplicazione) tali che
allora la struttura (A;+;*) è detta campo.