2. Probabilità.


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Una proprietà di un sistema fisico, biologico o sociale può in generale assumere diversi valori qualitativi o quantitativi.

Ad esempio, il sesso di un essere umano può essere maschile o femminile, e il suo stadio di sviluppo può essere l'infanzia, l'adolescenza, la giovinezza, la maturità e la vecchiaia. Un essere umano è caratterizzato inoltre da età e altezza di norma specificate da numeri. Sesso stadio di sviluppo sono caratteri qualitativi. Età e altezza sono caratteri quantitativi.

L'insieme dei valori, che può essere discreto o continuo, che possono essere assunti da una o più proprietà di un sistema, è detto spazio campione o, più semplicemente campione, S.

Ogni sottinsieme Ex di S è detto evento o esperimento.

Una funzione reale p(Ex) tale che, dato Eqn000.gif,

è detta funzione di probabilità.

Per esempio, lo spazio campione delle uscite del lancio di un dado è S={1,2,3,4,5,6}.

Gli eventi sono suoi sottinsieme come E1 = {1}, E2 = {2}, E3 = {3}, E4 = {4}, E5 = {5}, E6 = {6}, E12 = {1,2}, E246 = {2,4,6}, ecc.

L'uguaglianza (2.4) dà Eqn006.gif
quindi, se Eqn007.gif, si ottiene
Eqn008.gif

Si ha inoltre

 

Se uno spazio campione S è il prodotto cartesiano di due altri campioni Sx e Sy e Eqn012.gif, il simbolo Eqn013.gif (la probabilità di Ey dato Ex) rappresenta la probabilità dell'evento Eqn014.gif. E è detto evento composto.

Se Eqn015.gif, gli eventi Ex e Ey sono detti mutualmente indipendenti, o, più semplicemente, indipendenti; altrimenti essi sono dipendenti.

Se, per esempio, una scatola contiene tre palle, una rossa, una verde e una blu, ed estraiamo una palla a caso, la probabilità p(R) di estrarre una palla rossa è Eqn016.gif.

Se facciamo due estrazioni consecutive Ex e Ey, abbiamo un evento composto diverso a seconda che, dopo la prima estrazione, rimettiamo o no nell'urna la palla estratta.

Nel primo caso lo spazio campione è Eqn017.gif.
Ci sono tre casi su nove in cui la seconda palla estratta è rossa, quindi Eqn018.gif. In questo caso la probabilità che la seconda palla sia rossa è uguale alla probabilità p(Ey)=p(R) di estrarre una palla rossa in una singola estrazione: gli eventi Ex and Ey sono indipendenti.

Nel secondo caso lo spazio campione è Eqn019.gif e, come è ovvio, la seconda palla non può essere rossa: p(Ey|Ex)=0≠p(Ey).
Gli eventi Ex e Ey sono dipendenti.

In generale, se Eqn020.gif è un evento composto,

In particolare:

 


Il problema dei compleanni

Qual è la probabilità che in un gruppo di n persone scelte a caso, due di esse abbiano lo stesso compleanno?

 

Sia p(n) la probabilità richiesta. La soluzione risulta più agevole se prima si calcola la probabilità opposta Eqn100.gif. Per semplicità non si considerano gli anni bisestili e si assumono le nascite uniformemente distribuite nel corso dell'anno.

Per esempio, la probabilità che su 80 persone ce ne siano due con lo stesso compleanno è Eqn106.gif: è praticamente sicuro che ci siano due persone con lo stesso compleanno.

Avremmo potuto ottenere lo stesso risultato con il calcolo combinatorio. Infatti q(n) è dato dal rapporto tra le combinazioni C365,n (cioè tutti i possibili gruppi di n compleanni) e le permutazioni con ripetizione P365,n, notando che le permutazioni degli stessi elementi sono indistinguibili e vanno contate una sola volta.

Eqn107.gif

 

 


Prove bernoulliane

Siano S lo spazio campione dei possibili risultati di una prova e Eqn000.gif due eventi tali che Eqn200.gif.

Se e un possibile risultato, qual è la probabilità che in n repliche della stessa prova, Eqn204.gif k volte?

Si assume che gli esiti delle prove siano indipendenti l'uno dall'altro e, per semplicità, si pone Eqn202.gif di modo che Eqn203.gif.
q è detta probabilità opposta rispetto a p.

La probabilità che Eqn204.gif in k esperimenti e che Eqn205.gif nei rimanenti n-k esperimenti è Eqn206.gif.

Dato che questa combinazione può avere Eqn207.gif permutazioni, la probabilità richiesta è

Eqn208.gif

Esempi.

Nella seguente applicazione JS la probabilità p può essere espressa come decimale o come frazione.

 

 


Teorema di Bayes

Sia S lo spazio campione di un esperimento e siano Ek (k da 1 a n) eventi di S tali che

Eqn300.gif

Dato un qualsiasi evento E di S, si ha

Eqn301.gif

fig000.gif

Dalla (2.4) si ha

Eqn302.gif

e dalla (2.5)

Eqn303.gif

La (2.12) è uno dei possibili modi di esprimere il teorema di Bayes.

Esempio.

In una scuola ci sono 600 ragazze e 400 ragazzi. Il 40% delle ragazze e il 30% dei ragazzi hanno buoni voti in matematica. Qual è la probabilità che una persona che studia in quella scuola sia brava in matematica?

Siano p(E) la probabilità richiesta, p(E1) la probabilità che la persona sia femmina, p(E2) la probabilità che la persona sia maschio, p(E|E1) la probabilità che una ragazza abbia buoni voti e p(E|E2) la stessa probabilità per un ragazzo.

Eqn304.gif

Dalla (2.12) si ottiene

Eqn305.gif

Lo stesso calcolo può essere svolto in modo più elementare:

 

Dalla (2.8) si ottiene

Eqn030.gif

Se in questa uguaglianza si pone

Eqn031.gif

si ha

Eqn032.gif

Eqn306.gif

e infine

Eqn307.gif

L'uguaglianza (2.13) è un altro possibile modo di esprimere il teorema di Bayes.

Nell'esempio precedente, qual è la probabilità che chi ha buoni voti sia una ragazza?

Dalla (2.13) si ha

Eqn308.gif

In modo più elementare: