Successioni e Serie - 4 - a cura di R. Bigoni

4. Limite di una successione

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale positivo M tale che, per ogni indice i, .

In caso contrario la successione è detta divergente.

4.1 Successioni divergenti.

Per indicare che una successione diverge positivamente, cioè che è tale che, comunque si fissi un M positivo, da un certo indice i in poi, tutti gli a_i superano M, si dice che il limite della successione per i che tende all'infinito è +∞ e si scrive

Viceversa, per indicare che una successione diverge negativamente, cioè che è tale che, comunque si fissi un M positivo, da un certo indice i in poi, tutti gli a_i risultano minori di -M, si dice che il limite della successione per i che tende all'infinito è -∞ e si scrive

Il simbolo ∞ (aleph) non è un numero reale: è solo un ideogramma usato per rappresentare la divergenza della successione.

Si possono definire successioni divergenti che non ricadono in nessuna delle due categorie precedenti.

4.2 Successioni convergenti.

Se una successione {a_i} è limitata e se esiste un numero reale a tale che, al crescere dell'indice i, la distanza degli a_i da a va sempre diminuendo, si dice che la successione converge ad a, o in modo del tutto equivalente, che la successione ha limite (o tende ad) a e si scrive

In modo più formale, si dice che la successione {a_i} tende ad a se fissato un numero reale positivo ε comunque piccolo, esiste un indice j (dipendente da ε e tanto più grande quanto più ε è piccolo) tale che

4.3 Unicità del limite.

Se una successione converge, il limite è unico.

Se si ammette che esistano due limiti diversi a e a* si ha

Per ogni i maggiore del maggiore tra k e k* si ha

Per la disuguaglianza triangolare la somma di due moduli è maggiore o al minimo uguale al modulo della differenza dei loro argomenti, dunque

Dato che ε può essere piccolo a piacere, a e a* devono coincidere. Dunque è assurdo ammettere che possano esistere due limiti diversi.

4.4 Successioni di Cauchy.

Se una successione è convergente, allora, al crescere dell'indice, la distanza tra due elementi va diminuendo.

Per esprimere lo stesso concetto in modo più formale: se una successione è convergente, allora, fissato un numero reale positivo ε comunque piccolo, esiste un indice k (dipendente da ε e tanto più grande quanto più ε è piccolo) tale che per qualunque coppia di indici i e j successivi a k

Dimostrazione. Per ipotesi, detto a il limite della successione, per i e j entrambi maggiori di un certo k si ha

Inoltre

Si è applicata la disuguaglianza triangolare per cui il modulo di una somma è minore o al massimo uguale alla somma dei moduli. Quindi, in definitiva,

La successioni che godono di questa proprietà si chiamano successioni di Cauchy dal nome del matematico francese A. L. Cauchy.

Quindi se una successione converge allora è una successione di Cauchy.

Si può, viceversa, dimostrare che, se una successione è una successione di Cauchy, allora converge.

Si supponga che la successione {a_i} sia una successione di Cauchy e si considerino due elementi di indici i e j tali che, in corrispondenza di un ε prefissato, .

Non si può ammettere che per qualunque a reale

perché con a=a_i o a=a_j l'ammissione è contraddittoria. Dunque esiste almeno un a tale che

Perché una somma di numeri non negativi sia minore di ε bisogna che entrambi gli addendi siano minori di ε. Quindi

cioè la successione {a_i} converge ad almeno una a ma, per l'unicità del limite, questa a è unica.

Si può quindi affermare che condizione necessaria e sufficiente perché una successione sia convergente è che sia una successione di Cauchy.