L'insieme di Mandelbrot (IdM), che prende il nome dal matematico Bénoit B. Mandelbrot, è l'insieme dei numeri complessi c tali che la successione dei moduli di tutti i numeri complessi z_i che, dato z₀ = 0, si deducono aggiungendo c al quadrato dell'elemento precedente,

sia formata da numeri reali finiti:

Denominando tale successione come successione di Mandelbrot, si può dimostrare che, se un elemento di tale successione ha modulo maggiore o uguale 2, la successione diverge e quindi, appena nello sviluppo della successione si incontra un numero di modulo maggiore o uguale a 2, si può essere sicuri che il numero complesso c generatore della successione non appartiene a IdM.

Indicando con il termine di permanenza l'indice dell'ultimo numero della successione con modulo minore di 2, si può dire che i numeri con permanenza finita non appartengono a IdM ovvero che IdM è l'insieme dei numeri complessi con permanenza infinita.

Un valore abbastanza alto di permanenza minima costituisce quindi un filtro per selezionare molti numeri complessi non appartenenti all'insieme.

Calcolando infatti la permanenza di un adeguato numero di numeri complessi di modulo minore di 2 si potranno infatti scartare tra essi tutti quelli con permanenza inferiore alla minima stabilita.

Viceversa per quanto sia alta, ma finita, la permanenza minima stabilita, non si potrà essere sicuri che tutti i complessi non scartati appartengano all'insieme.

Rappresentando graficamente i numeri con una permanenza abbastanza alta si otterrà comunque una buona rappresentazione dell'insieme e il grafico sarà tanto migliore quanto maggiore si fissa la permanenza minima.

Per ottenere un'immagine abbastanza vivace dei punti vicini alla frontiera dell'IdM, si rappresentano i punti non appartenenti all'insieme, quindi con permanenza finita, con colori diversi a seconda della loro permanenza.

La frontiera di IdM non è una linea continua, interrotta al più da qualche singolarità, come quelle studiate dalla geometria classica (poligoni, circonferenze, coniche, curve algebriche, curve trigonometriche, esponenziali e logaritmiche, ecc. ).

Una figura di questo genere manifesta proprietà assolutamente inedite rispetto a quelle classiche:

• ha una dimensione non intera : in geometria classica le linee hanno dimensione 1, le aree dimensione 2, i volumi dimensione 3, ecc. ; questo contorno ha dimensione compresa tra 1 e 2;
• è dotata di omotetia interna: per quanto si ingrandiscano i suoi dettagli si ritrovano figure di identica conformazione; dentro a IdM ci sono tanti minuscoli IdM, dentro ognuno dei quali altri più minuscoli IdM, e così via senza fine.

Figure che godono di queste proprietà sono dette frattali.

Rappresentazione dell'Insieme di Mandelbrot (Applet Java)

Come permettere l'esecuzione delle applet Java

Il sorgente può essere eseguito anche come applicazione Java.

ultimo aggiornamento: Ottobre 2018